Задача: найти все решения матричного уравнения X^2=X в алгебре вещественных матриц порядка 2 и дать геометрическое описание множества решений.


Я пыталась решить, приравняв коэффициенты матриц X^2 и X, но получаются только уравнения, в которых 4 неизвестных. А решение не должно быть сложным. Может быть у вас будут идеи?

В каком общем? Там же всегда разные значения. И ещё я подозреваю, что в этих матрицах по мнимой оси можно ставить любые числа, а не только единицу.

(1 0 c 1), (0 0 c 1), (1 b 1 1)
Где матрицы, соответствующие вот этим решениям?

возможно, но я не знаю, что называется мнимой осью матрицы

Странно получается, некоторые подходящие матрицы не нашлись в ходе решения.


Я имела в виду диагональ справа налево, то есть b и c.

сложно сказать, не видя полного решения, у вас ответы есть?

хм... справо налево и главная диагональ идет, но я так понимаю речь идет о побочной.
Вы уже спрашивали насчет того, какие числа можно подставлять, я вам выше ответила, что ЛЮБЫЕ!!!

Вот решение тогда:
a=a^2+bc
b=ab+bc
c=ac+dc
d=bc+d^2

d-a=d^2-a^2=(d-a)(d+d)
(d-a)(d+a)-(d-a)=(d-a)(d+a-1)=0
Далее распишем два случая, когда d-a=0 (1) и когда d+a-1=0 (2).
1) a=d
b=bd+bc
c=2dc
d=d
Теперь из c получим c(2d-1)=0 - ещё 2 случая.
1.1) a=d
b=db
c=0
d=d
Из b будет b(d-1)=0
И ещё 2 случая.
1.1.1) a=d
b=0
c=0
d=d
Получилось (d 0 0 d)
1.1.2) Здесь было условие d-1=0. Тогда
a=1
b=0
c=0
d=1
(1 0 0 1)
1.2) Случай с условием 2d-1=0, d=1/2
a=d=1/2
b=(1/2)b+bc
c=c
d=1/2
Из b будет b(c-1/2)=0
1.2.1) a=1/2
b=0
c=c
d=1/2
(1/2 0 c 1/2)
1.2.2) c=1/2
a=1/2
b=b
c=1/2
d=1/2
(1/2 b 1/2 1/2)
В случае (2) получается соответственно (1 0 c 0), (0 0 c 1), (1 b 1 1) и (1-d 1-d d d).

Но некоторые из этих четвёрок уже не подходят. Например, (1/2 0 c 1/2) из случая 1.2.1. Я что-то не так делала?