Версия для печати темы

Автор: Яна Романова 30.5.2012, 10:24

Задача: найти все решения матричного уравнения X^2=X в алгебре вещественных матриц порядка 2 и дать геометрическое описание множества решений.


Я пыталась решить, приравняв коэффициенты матриц X^2 и X, но получаются только уравнения, в которых 4 неизвестных. А решение не должно быть сложным. Может быть у вас будут идеи?

Автор: tig81 30.5.2012, 10:26

Показывайте решение

Автор: Яна Романова 30.5.2012, 10:34

Простите, там матрица икс в квадрате равна матрице икс.

У нас будет две матрицы, в первой:
a11=x11
a12=x12
a21=x21
a22=x22
и во второй:
a11=x11*x11+x12*x21
a12=x11*x12+x12*x22
a21=x11*x21+x21*x22
a22=x12*x21+x22*x22
Если выражать переменные, то получится ещё запутаннее. Может быть есть способ намного проще?

Автор: tig81 30.5.2012, 10:37

что за первая матрица? Что за вторая?

Автор: Яна Романова 30.5.2012, 10:39

Первая - матрица икс. Вторая - матрица икс в квадрате. Если приравнять коэффициенты, то получится
x11=x11*x11+x12*x21
x12=x11*x12+x12*x22
x21=x11*x21+x21*x22
x22=x12*x21+x22*x22
А дальше не знаю, что делать.

Автор: tig81 30.5.2012, 10:43

Чтобы меньше индексов:
a b
X=c d

a^2+bc = a
ab+bc=b
ac+cd=c
bc+d^2=d

от первого отнимаем четвертое равенство, получаем: a^2-d^2=a-d
и вытаскиваем, все что можно

Автор: Яна Романова 30.5.2012, 10:52

А что можно вытащить? Уравнение a-d=(a-d)(a+d)ничего не даст же.

Автор: tig81 30.5.2012, 11:03

а сократить ничего нельзя? ПЕреносите все в одну сторону, выносите общее за скобки, смотрите далее.

Автор: Яна Романова 30.5.2012, 11:20

tiq81, спасибо, сейчас посчитаю все решения, там получается много случаев.
А не знаете, как дать геометрическое описание множества решений?

Автор: tig81 30.5.2012, 11:25

хм... надо подумать

Автор: Яна Романова 30.5.2012, 12:12

В итоге получилось 8 четвёрок чисел: (1 0 0 1), (0 0 0 0), (1/2 0 c 1/2), (1/2 b 1/2 1/2), (1 0 c 1), (0 0 c 1), (1 b 1 1), (1-d 1-d d d). Некоторые почему-то сразу не подходят, хотя все расчёты я проверяла несколько раз. А вместо неизвестных нужно подставить 0 или 1, так?

Автор: tig81 30.5.2012, 12:19

ну все возможно

любые значения. Выпишите, какой вид у матрицы Х

Автор: Яна Романова 30.5.2012, 12:52

Матрицы X вот такие получились

Автор: tig81 30.5.2012, 12:53

а в общем виде?

Автор: Яна Романова 30.5.2012, 13:02

В каком общем? Там же всегда разные значения. И ещё я подозреваю, что в этих матрицах по мнимой оси можно ставить любые числа, а не только единицу.

Автор: tig81 30.5.2012, 13:06

(1 0 c 1), (0 0 c 1), (1 b 1 1)
Где матрицы, соответствующие вот этим решениям?

возможно, но я не знаю, что называется мнимой осью матрицы

Автор: Яна Романова 30.5.2012, 13:18

Странно получается, некоторые подходящие матрицы не нашлись в ходе решения.


Я имела в виду диагональ справа налево, то есть b и c.

Автор: tig81 30.5.2012, 13:20

сложно сказать, не видя полного решения, у вас ответы есть?

хм... справо налево и главная диагональ идет, но я так понимаю речь идет о побочной.
Вы уже спрашивали насчет того, какие числа можно подставлять, я вам выше ответила, что ЛЮБЫЕ!!!

Автор: Яна Романова 30.5.2012, 13:42

Вот решение тогда:
a=a^2+bc
b=ab+bc
c=ac+dc
d=bc+d^2

d-a=d^2-a^2=(d-a)(d+d)
(d-a)(d+a)-(d-a)=(d-a)(d+a-1)=0
Далее распишем два случая, когда d-a=0 (1) и когда d+a-1=0 (2).
1) a=d
b=bd+bc
c=2dc
d=d
Теперь из c получим c(2d-1)=0 - ещё 2 случая.
1.1) a=d
b=db
c=0
d=d
Из b будет b(d-1)=0
И ещё 2 случая.
1.1.1) a=d
b=0
c=0
d=d
Получилось (d 0 0 d)
1.1.2) Здесь было условие d-1=0. Тогда
a=1
b=0
c=0
d=1
(1 0 0 1)
1.2) Случай с условием 2d-1=0, d=1/2
a=d=1/2
b=(1/2)b+bc
c=c
d=1/2
Из b будет b(c-1/2)=0
1.2.1) a=1/2
b=0
c=c
d=1/2
(1/2 0 c 1/2)
1.2.2) c=1/2
a=1/2
b=b
c=1/2
d=1/2
(1/2 b 1/2 1/2)
В случае (2) получается соответственно (1 0 c 0), (0 0 c 1), (1 b 1 1) и (1-d 1-d d d).

Но некоторые из этих четвёрок уже не подходят. Например, (1/2 0 c 1/2) из случая 1.2.1. Я что-то не так делала?