В этом году в ЕГЭ по математике включили элементы теории вероятностей (это В10).

В пробном варианте в магазине увидел такую задачу.

Монета подбрасывается 3 раза. Какова вероятность, что в первые два раза результат будет одинаковый.

Посмотрел в ответ и удивился: 0.25.

Как это понимать?

Как "то ли ещё будет" (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

"..то ли еще будет ой, ой, ой": - пела Алка Галкина (Пугачева) в 70-е годы.

Купил такую книжку для подготовки к ЕГЭ. Всучили в нагрузку вести курсы. Опять смотрю задачи по ТВ.
Интересно, насколько далеко в школе проходят ЕГЭ? То есть что можно использовать при объяснении решения задач? Есть ли вероятность суммы-произведения событий, комбинаторика?

Например, как методически вернее подойти к такой задаче из данного сборника (чтобы было понятнее выпускнику школы).

На соревнования по прыжкам в воду приехали 7 спортсменов из Венгрии, 6 из Швейцарии и 2 из Германии. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность, что пятым будет выступать спортсмен из Швейцарии.

Различные методы решения связаны, на мой взгляд, с различным способом выбора пространства элементарных исходов (ПЭИ).

1) Если формально включать в ПЭИ все исходы эксперимента, то объяснение решения довольно сложно, так как число всех исходов 15!,
а число благоприятных через размещения (?) равно 6*[А(14,4)*10!], а потому искомая вероятность 6/15. Но объяснять школьнику такой (или подобный) расчет числа благоприятных исходов затруднителен для понимания.

2)Можно включить в ПЭИ только исходы, связанные с результатом выбора пятого по счету. Тогда все исходы, очевидно, равновозможны и их всего 15, благоприятных 6, а потому ответ очевиден.
Но здесь, несмотря на простоту решения, основная сложность в нетрадиционном выборе ПЭИ. Ведь по формальному определению в ПЭИ нужно включать ВСЕ МЫСЛИМЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ НЕСОВМЕСТНЫЕ исходы испытания. Под это определение скорее подходит первый способ выбора ПЭИ. Но тогда сильно усложняется решение.
Может быть сразу как-то объяснять, что для расчета вероятности по классической формуле ПЭИ можно формировать РАЗЛИЧНЫМИ способами. Основное требование - чтобы все исходы были равновозможны,а событие, вероятность которого надо найти, должно "складываться" из части этих исходов (т.е. должно представляться в виде суммы части элементарных исходов).
Разные способы выбора ПЭИ позволят найти наиболее простой путь решения за счет оптимального выбора ПЭИ.

Вопрос чисто методический.

Комбинаторика есть. Вероятность суммы-произведения кажется, есть, но здесь не уверена. Но задача видела. А так самое простое проходят. Вениамин, попросите деток, которые будут ходить на курсы, принести школьный учебник, вам одного опытнго взгляда хватить понять что да как...

Методические подходы введения курса комбинаторики, статистики и теории вероятностей в школьный курс математики
Сычкова Н.М., Лукина Г.В., Нюренберг Е.Н., Лукманова В.А.
учителя математики средней школы № 15 г. Белорецка
http://www.exponenta.ru/educat/systemat/lukmanova/index.asp

Спасибо, посмотрел.

В школьной "ТВ" не сильна. Однако определение пространства исходов как множества, которое дальше раздробить нельзя, методически не просто вредно, а безобразно вредно. В таком случае даже сочетания выкидываются напрочь - одни размещения и останутся, сочетания - это не мельчайшие результаты, а целые объединения всевозможных перестановок. Все возможные взаимоисключающие результаты - другое дело, потому как простор для того, что считать наблюдаемым результатом остаётся и должен оставаться.

Поэтому наиболее адекватное решение задачи про пятого спортсмена - как раз то, где рассматривается только пятый. Обосновать применимость классического определения вероятности просто - полная симметрия всех спортсменов, каждый из которых не имеет никаких преимуществ перед другими, и значит, шансы оказаться на 5 месте по жребию у всех одинаковы.

Спасибо.
Как же все-таки наиболее методически верно ввести определение ПЭИ?

Если как множество, включающее



то в цитируемой задаче таковым будет, например, {вторым был немец, вторым был не немец}. Но, понятно, такое ПЭИ не поможет решению задачи.
Видимо, надо подчеркнуть, что ПЭИ можно выбирать разными способами, а самое удобное ПЭИ выбирается из существа задачи:



Согласны?

Кстати, при этом определении даже совсем НЕ обязательно выделенное ниже слово:


С этой мыслью перекликается требование для формулы полной вероятности. Иногда требуют, чтобы гипотезы были ПОЛНОЙ ГРУППОЙ несовместных событий, хотя достаточно, чтобы они были несовместны, но исследуемое событие включалось в их сумму.

Да, конечно. Но исходы эксперимента в пространство элементарных исходов должны входить, разумеется, все - вероятность достоверного события обязана быть единицей. Иначе можно на бросании монеты выпадение решки объявить пространством исходов, и что - у этого одного исхода будет единичная вероятность? А если не единичная, то откуда она возьмётся? ПГС - другое дело, там вероятность на пространстве исходов уже задана, и не обязательно, чтобы сумма вероятностей полной группы ей равнялась - главное, чтобы нужное событие разбивалось на попарно несовместные части.

Спасибо.

Ой дядя Venja, запутаете Вы их. Может не стоит все это рассказывать? Рано им еще про ЭТО.

Дак вот и я о том же. Как им дать это наиболее доходчиво, не залезая в дебри?

Всё забываю спросить.
Как школьники на курсах переваривают теорию вероятностей?

Пока до нее не дошел (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

А вообще как впечатление от школьников?
(точнее от уровня их подготовки).

Школьники разные. но в целом уровень, конечно, падает. Трясет не только высшее образование, но и среднее.
Давно уже школьники не занимают тех мест на международных олимпиадах, которые традиционно занимали раньше.
Огромный вред нанесло появление книг ГДЗ.
Меркантильность победила разум.
Школьники перестали думать над решением домашним заданий, что являлось основой их умственного развития.

Это слишком сложная и больная тема, чтобы задевать ее так мимолетно.

Эх...

Затычка к школьному курсу по теории вероятностей

Мордкович А.Г., Семенов П.В.
События. Вероятности. Статистическая обработка данных. Доп. параграфы к курсу алгебры 7-9 кл.

Если кому нужна, то вот ссылка на "учебник"

http://www.alleng.ru/d/math/math599.htm

Ир, может есть смысл добавить его в раздел книжек по математике?

Сделано