Здрасте.
Вот такую задачу я не могу сделать:
Доказать, что для любого счётного множества A={xn} существует число a такое что множество {xn+a} "*" A пусто, где "*" - пересечение.

Всё бы было просто, если бы {xn} был бы просто последовательностью чисел, но {xn} может быть множеством рациональных чисел, и тогда чило между {xn+1}
и {xn} не подберёш.
Сказали что надо работать с "определением пересечения", что это за определение такое ?
И что делать в этом конкретном примере?

Ну во первых, я так понимаю, что x_n - это множество чисел, иначе не определена (вообще говоря) операция сложения с числом. Если это множество чисел, то какими могут быть эти числа? любыми или рациональными или иррациональными, например? И каким должно быть число a - любым или принадлежащим множеству A.
Если число любое, то проблема которую вы указали легко решается - пусть А - множество рациональных чисел, тогда множество A* = {x_n + корень из двух} не имеет пересечения с A.

Думаю, можно так.
Рассмотрим множество чисел

A={a(n,m): a(n,m)=x(n) - x(m) ; n=1,2, ... m=1,2, ....}.

Ясно, что это множество счетно, а потому не может заполнять всю числовую прямую. Поэтому существует число а, не принадлежащее А. Его-то нам и надо! (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)