Найти область сходимости ряда:
ряд n/(n^2+4) * ((x+2)/(2x+1))^n
Я заменил через q выражение ((x+2)/(2x+1)) и исследовал как степенной ряд, но преподаватель сказал, что это не степенной ряд, помогите пожалуйста, я не могу его исследовать, а без него мне не засчитают целую тему и время поджимает

Удобнее записать общий член ряда в виде

а(n) * q^n

где
а(n)=1/[n+(4/n)]

при q=1 получается получается числовой ряд
(сумма) а(n)
Этот ряд расходится - его можно сравнить (в предельной форме) с гармоническим рядом (сумма) 1/n.

при q= -1 получается получается числовой ряд
(сумма) (-1)^n *а(n)
Этот знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница,
так как несложно показать монотонный характер убывания (к нулю) последовательности а(n).