Найти область сходимости ряда:
ряд n/(n^2+4) * ((x+2)/(2x+1))^n
Я заменил через q выражение ((x+2)/(2x+1)) и исследовал как степенной ряд, но преподаватель сказал, что это не степенной ряд, помогите пожалуйста, я не могу его исследовать, а без него мне не засчитают целую тему и время поджимает

Вы сделали все правильно. После такой замены Вы получаете СТЕПЕННОЙ ряд относительно переменной q:
n/(n^2+4) * q^n
Находите обычными методми область его сходимости.Думаю, это будет [-1,1).
Теперь осталось решить неравенство
-1<=(x+2)/(2x+1)<1
относительно х и получится область сходимости заданного ряда.