Я подзабыла производные с модулями, не помню как влияет модуль на производную.

Найти производную
y=ln |cos x^(1/2)| + x^(1/2) * tg x^(1/2)

правильно ли я решила?

y' = -sin x^(1/2)/cos x^(1/2) * 1/(2 * x^(1/2)) + 1/(2 * x^(1/2)) * tg x^(1/2) +
+ x^(1/2) * (sec x^(1/2))^2 * 1/(2 * x^(1/2)) =
= -tg x^(1/2) * 1/(2 * x^(1/2)) + 1/(2 * x^(1/2)) * tg x^(1/2) +
+ x^(1/2) * (sec x^(1/2))^2 * 1/(2 * x^(1/2)) = (sec x^(1/2))^2/2

Если y = ln |f(x)|, то y' = f'(x)/f(x).
Да, всё правильно.