Мне надо проверить эти два выражения на Инъекцию и Сюръукцию.

a) f: (x,y) --> (y+2,x-1)
(IMG:style_emoticons/default/cool.gif) f:(x,y)--> (xy, x+y)

Инъекция.
a)
y + 2 = 0
x-1 = 0
y=-2
x=1

т.е. других значений y x ,чтобы получался в уравнении 0, у нас быть не может.
значит инъективно

б)
xy=2 значит или х=1 и у=2 или х=2 и у=1, у нас два разных вектора отражаются на результат 2, значит не может быть инъективно.

Суръекция.
а)
(p,q) =f(x,y) = (y+2,x-1)
p=y+2
q=x+1
Суръективно
так как при любых (x,y) p и q никогда не примут одно и тоже значение
б)
(p,q) = f(x,y) = (xy,x+y)
к каждому (p,q) существует имеено одни (х,у) с
p=ху
q=х+у
например, х=2,у=3 тогда p=6, q= 5
но у нас могут p=6, q= 5 получится когда х=3 и у=2
значит не может быть суръективно




где оишбка?

Хорошо. А если я доказываю б таким же путём, без определённых чисел.

f:(x1,y1)--> (x1y1, x1+y1)
f:(x2,y2)--> (x2y2, x2+y2)
Если предположить, что это не инъекция, то существуют две различные точки, например, (x1,y1) и (x2,y2), что
f(x1,y1) = f(x2,y2)
Отсюда получаем, что y1 = y2, x1 = x2.
т.е. инъекция.

.
f : R3 → R3 g
f (x, y, z) = (x + 3y + 4z, 2y − z, x − y + 6z)
Здесь я могу доказать,что это не инъекция таким путём
x + 3y + 4z=0
2y − z=0 z=2y
x − y + 6z

x+3y+8y =0 ; x=-11y

-11y-y+12y=0
т.е. без разница какие значения принимают x y z они всегда будут отображаться на 0. Это значит, что несколько векторов будут отображаться на ноль, что уже не является инъекцией.

Но как мне это всё доказать без приведения точных примеров?

Или это дейстувует так
1. Мы в уме прикидываем числа, видим что это инъективно и тогда принимаем ваш способ с точками.
2. Мы в уме прикидываем числа и видим, что это не инъекция и тогда доказываем с конкретными примерами. да?


Суръекция
б)
(p,q) = f(x,y) = (xy,x+y)
к каждому (p,q) существует имеено одни (х,у) с
p=ху
q=х+у

y=p\x
y=q-x
p/x=q-x
xq-x^2 = p
и отсюда значение х не может быть выведенно...

Из того, что (x1y1, x1+y1) = (x2y2, x2+y2) не следует, что y1 = y2, x1 = x2.
"т.е. без разница какие значения принимают x y z они всегда будут отображаться на 0. Это значит, что несколько векторов будут отображаться на ноль, что уже не является инъекцией".
Нет, из того, что Вы получили следует, что в 0 отображается большей одной точки, следовательно, это не инъекция.

1. Мы в уме прикидываем числа, видим что это инъективно и тогда принимаем ваш способ с точками.
2. Мы в уме прикидываем числа и видим, что это не инъекция и тогда доказываем с конкретными примерами. да?

Иногда видно, что это не инъекция, тогда достаточно привести пример.
Если этого не видно, то можно попробовать с точками.
Так как б) - это не сюръекция, то достаточно привести пример.