Помогите, пожалуйста, вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
z = x^2, x - 2y + 2 = 0, x + y - 7 = 0, z = 0

z = x^2, x - 2y + 2 = 0, x + y - 7 = 0, z = 0.
Получаем, что z меняется от 0 до x^2. Найдем пределы интегрирования по х и у.
Найдем проекцию указанной фигуры на плоскость xOy (z = 0).
Получаем уравнения:
x^2 = 0, x - 2y + 2 = 0, x + y - 7 = 0
x = 0, y = x/2 + 1, y = 7 - x.
Значит областью интегрирования по х, у будет треугольник.
Найдем точки пересечения двух функций:
y = x/2 + 1, y = 7 - x => x/2 + 1 = 7 - x => 3 * x/2 = 6 => 3 * x = 12 => x = 4.
Следовательно, х меняется от 0 до 4, у меняется от x/2 + 1 до 7 - x.
Значит
V = int (0 4) dx int (x/2 + 1 7 - x) dy int (0 x^2) dz =
= int (0 4) dx int (x/2 + 1 7 - x) dy (z)_{0}^{x^2} =
= int (0 4) dx int (x/2 + 1 7 - x) x^2 dy = int (0 4) x^2 dx int (x/2 + 1 7 - x) dy =
= int (0 4) x^2 * (y)_{x/2 + 1}^{7 - x} dx = int (0 4) x^2 * ((7 - x) - (x/2 + 1)) dx =
= int (0 4) x^2 * (7 - x - x/2 - 1) dx = int (0 4) x^2 * (6 - 3 * x/2) dx =
= int (0 4) (6 * x^2 - 3/2 * x^3) dx =
= (6 * 1/3 * x^3 - 3/2 * 1/4 * x^4)_{0}^{4} = (2 * x^3 - 3/8 * x^4)_{0}^{4} =
= (2 * 4^3 - 3/8 * 4^4) - (2 * 0^3 - 3/8 * 0^4) = 128 - 96 = 32
Ответ: V = 32.

Большое спасибо!!