Вычислить неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием:


1) int(dx/(e^x+e^-x) = tan^-1(e^x)

2) int arctg(sqrt(7x-1)dx) = xtan^-1(sqrt(7x-1)-1.7(sqrt(7x-1))

3) dx/(x^2+2x-3) = -1/2tanh^-1((x+1)/2)

4) 2xdx/(x^2-2x+2) = log((x-2)x+2)-2tan^-1(1-x)

Помогите пожалуйста расписать ответы и как проверить их дифференцированием???

Будьте добры!!! (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

А ответы откуда взялись?
Посмотрите примеры: http://www.reshebnik.ru/solutions/4/

всё с того же математического калькулятора, спасибо сейчас нляну.

1. Замена t = e^x.
2. Интегрирование по частям.
3. x^2 + 2x - 3 = (x + 1)^2 - 4
4. x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1

Здраствуйте, вот села решать опять, и опять трудности в решении, кто может помогите пожалуйста!!!

1) int(dx/(e^x+e^-x)
Сделаем замену t=e^x, тогда dt=de^x=e^xdx, следователь dx= dt/e^x, используя последнее равенство получаем
= int(dt/(e^x(e^x+e^-x) = int(dt/(t(t+t^-1) незнаю правильно расписала или нет и что дальше делать незнаю...

4) int 2xdx/(x^2-2x+2) = int(2(x+1)-2)/((x-1)^2+1)
сделав замену z=x-1, получим
int (2zdz)/(z^2+1) - int (2dz/(z^2+1))
в первом из двух слагаемых сделаем замену s=z^2+1 и получим

int(dx/(e^x+e^(-x))=int(e^xdx/((e^x)^2+1)
Теперь делайте замену

Как после замены получили такой числитель?

1) замена t=e^x
int tdx/(t^2+1) правильно? и что дальше делать, вообще не соображается... подскажите пожалуйста

4) int 2xdx/(x^2-2x+2)= int (2(x-1)+2)/((x-1)^2+1) замена z=x-1
int (2z+2)/(z^2+1)=int 2zdx/(z^2+1) +2dz/(z^2+1)
в первом из двух слагаемых сделаем замену s=z^2+1
int2zdx/(z^2+1)=(1/2z)+C
Во втором слагаемом применим метод понижения степени:
int2dz/(z^2+1)=(((z^2+1)-(z^2-1))/(z^2+1))dz=int((z^2+1)/(z^2+1))dz-int(z^2-1)/(z^2+1)dz=-int(z^2-1)/(z^2+1)dz
что-то не так получается, обе стороны сокращаются кажется,
ПОДСКАЖИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ЧТО НЕ ТАК Я ДЕЛАЮ. И ЧТО ДАЛЬШЕ ДЕЛАТЬ??? (IMG:style_emoticons/default/rolleyes.gif) (IMG:style_emoticons/default/rolleyes.gif) (IMG:style_emoticons/default/rolleyes.gif)

1) замена t=e^x
int tdt/(t^2+1)= ((t^2)/2) / ((t^3)/3 +t))
что-то не то получилось...????
или надо так int=t (dt/(t^2+1)) = t*arctgt+C=e^x*arctg e^x+C ????

t откуда в числителе?

Как вы t вынесли за интеграл, если по этой переменной интегрирование?! Показывайте, как делали замену.

Уже голова кругом, просто в выражении int e^xdx/(e^x)^2+1 в числителе есть е^x, и если его заменить на t, то он же и останется в числителе, как я поняла

int dx/(e^x+e^-x)=int e^xdx/(e^x)^2+1
сделаем замену t=e^x
получим int dt/(1+t^2)=arctgt+C=arctg e^x + C так правильно??? подскажите пожалуйста...

e^x=t
e^xdx=dt
Т.е. весь числитель заменится dt.

да.

Спасибо!!!

4) int 2xdx/(x^2-2x+2)= int (2(x-1)+2)/((x-1)^2+1) замена z=x-1
int (2z+2)/(z^2+1)=int 2zdx/(z^2+1) +2dz/(z^2+1)
в первом из двух слагаемых сделаем замену s=z^2+1
int2zdx/(z^2+1)=(1/2z)+C
Во втором слагаемом применим метод понижения степени:
int2dz/(z^2+1)=(((z^2+1)-(z^2-1))/(z^2+1))dz=int((z^2+1)/(z^2+1))dz-int(z^2-1)/(z^2+1)dz=-int(z^2-1)/(z^2+1)dz
что-то не так получается, обе стороны сокращаются кажется,
ПОДСКАЖИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ЧТО НЕ ТАК Я ДЕЛАЮ. И ЧТО ДАЛЬШЕ ДЕЛАТЬ???

или

4) int 2xdx/(x^2-2x+2)=(2x-2+2)/(x^2-2x+2)dx=(2x-2)/(x^2-2x+2)dx + 2dx/(x^2-2x+2)
для первого слагаемого замена t=x^2-2x+2, тогда dt=(2x-2)dt,
получим интеграл int (2x-2)/(x^2-2x+2)dx=int dt/t
Для второго слагаемого выделяем полный квадрат в знаменателе: (x-1)^2 + 1, замена (x-1)=z dx=dz
получим int 2dx/(x^2-2x+2) = 2int dz/z^2+1=2arctgz + C
следовательно int dt/t + 2intdz/(z^2+1) = ln(t+C)+2arctgz + C=ln(x^2-2x+2)+2arctg(x-1)=log(x-2)(x+2)-2tan^-1 (1-x)

???? Подскажите пожалуйста... еще надо все это проверить дифференцированием...

Я бы делала так, хотя и первое решение имеет право на существование. Но все сливается,Ю проверить не могу. Если что, то отсканируйте решение, тогда посмотрим.

Получается второй вариант правильный???

Кстати у меня есть отсканированные наброски,посмотрите пожалуйста...

а) правильно.
б) du неправильно найдено, нужно ещё на производную корня домножить.
в) После замены должно стоять dt, а не dx. Откуда взялся tang^(-1) ??? Константу в конце забыли.
г) Не ln (t + c), а ln |t|. Откуда взялся log (x - 2)(x + 2)??? И константу опять забыли.

du = 1/2x* sqrt (7x-1) ???

Да, только скобки ставить надо.

du = dx / (2x* sqrt (7x-1))
v = x
int udv = u*v - int vdu
int arctg (sqrt (7x-1)) dx = arctg (sqrt (7x-1)) *x - int [x * (dx / (2x* sqrt (7x-1))] = ...

Да.

= x* arctg (sqrt (7x-1)) - x* int (dx / (2x* sqrt (7x-1)) = ...
а как найти интеграл последний? плиз...