xy''' + y'' = sqrt(x)

решение:
z = y''
z' = y'''
xz' - sqrt(x)=-z

что дальше? решал такие же уравнения, где оставалось что-то вроде 1-z=xz', а как это решается, не знаю.

старшекурсник сказал, что это уравнение Эйлера, но как решается не объяснил. Поискал в инете, нашел много чего, но ничего не понял. Как его раскладывать?

Буду очень благодарен за помощь!

xz' + z = sqrt(x)
Это обычное линейное уравнение. Решается одним из стандартных методов. Например можно решить однородное уравнение и воспользоваться методом вариации постоянных или найти в учебнике готовую формулу (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)