Мне нужно было исследовать на сходимость ряд (1/(n-1))*arctg(1/(n-1)^1/3). Я выбрал ряд (Pi/2)/(n-1) и сравнил их,тоесть нашел предел их отношения.Предел последовательности был равен нулю и из этого я сделал вывод что искомый ряд расходиться так как расходиться ряд (Pi/2)/(n-1).В чем моя ошибка ?

Сравнить со сходящимся рядом с общим членом 1/(n-1)^(4/3).
Предел отношения общих членов =1, поэтому исходный ряд тоже сходится.
При вычислении предела учесть эквивалентность бесконечно малых:
arctg(a)~a.