[1-(cos(x)^2/sin(x)^2)*x^2]/x^2=(sin(x)^2-cos(x)^2*x^2)/sin(x)^2*x^2=sin(x)^2[(sin^2(x)-cos^2(x)*x^2)]/x^2 т.к lim(x->0)sin^2(x)/x^2=1 lim(x->0)[(sin^2(x)-cos^2(x)*x^2)]=0 где ошибка или как по другому вычислить ?

как из одного получили другое?

П.С. Как полностью звучит задание?

Вычислить предел, используя правило Лопиталя или формулу Тейлора
lim(x->0) [1/x^2-ctg(x)^2]

Хм... а ответ зачем да? Ну да ладно.

А на первый вопрос вы не ответили.

1)сtg(x)^2 = cos(x)^2/sin(x)^2 потом все *sin(x)^2 получил
(sin(x)^2-cos(x)^2*x^2) / sin(x)^2*x^2
2)потом / sin(x)^2 получил
sin(x)^2[(sin^2(x)-cos^2(x)*x^2)]/x^2 т.к lim(x->0)sin^2(x)/x^2=1
3)lim(x->0)[(sin^2(x)-cos^2(x)*x^2)]=0 , im(x->0)sin^2(x)=0 cos^2(x)*x^2=0 или у меня получилось неопределеность 0-0 ?

Ну тут я вроде поняла, вы привели к общему знаменателю.

Т.е. вначале на синус умножили, затем поделили, т.е. выражение не должно поменяться.

Если вы синус в числителе вынесли, то должны каждое слагаемое в числителе на него поделить. Если вы поделили на синус, то как он в числителе оказался?

А. да ошибся но всеровно там
sin(x)^2[(sin^2(x)-cos^2(x)*x^2)] / (x^2*sin(x)^4)=
[(sin^2(x)-cos^2(x)*x^2)] / sin(x)^4 заменить sin(x)^2=1-cos(x)^2 тогда
[1-cos(x)^2-cos^2(x)*x^2]/)1-cos(x)^2)^2=
(1-1-0)/(1-2+1) неопределоность вида 0/0 вышла

что дало вам домношение на sin(x)^2? Чтобы использовать первый замечательный?

такая неопределенность раскрывается по Лопиталю.

Спасибо, все получилось только муторно вышло с вычеслением производных а нет более коротокого метода решение этого примера?

Пожалуйста.
Можно, наверное, было попробовать использовать эквивалентные бесконечно малые, но задание у вас предполагает использование Лопиталя.