Вот

здесь наверное лучше по частям
u=sqrt(f^2+1)
du=df

А дальше как?

если первый интеграл умножаете на 2, то и после знака равенства тоже все слагаемые нужно умножить на 2. Не забывайте.

теперь в последнем интеграле в числителе добавить 1 и вычесть 1. Далее сгрупировать слагаемые (фи^2+1) /sqrt(фи^2+1) и 1/sqrt(фи^2+1). Первое слагаемое нужно упростить. Распишите что получилось. Со знаками внимательнее.

Int(1/cos^3(x)). А если числитель и знаменатель домножить на косинус, затем косинус в знаменателе записать через синус?
П.С. После подстановки пределы не пересчитали.

du=...dfi
uv - с подстановкой пределов
Посмотрите либо в числителе прибавить и отнять 1, либо биномиальный дифференциал, либо постановка fi^2+1=z^2, либо используя формулу int(P[n](x)/sqrt(x^2+ax+b ))=Q[n-1](x)/sqrt(x^2+ax+b )+k*int(dx/sqrt(x^2+ax+b ))

Как его упростить? поллучится sqrt(фи^2+1).

совершенно верно. Дальше его переносим влево за знак равенства.

А для чего это нужно? Получается так:

Совершенно верно. Теперь раскрывайте скобки (умножайте каждое слагаемое на 2) и переносите слагаемое с 2 int ( sqrt(фи^2+1) ) влево. Затем поделите левую и правую часть на 2. Что получилось?

Как можно перенести влево? Если бы у нас было бы равенство, то можно. А тут как?

Ваш исходный интеграл методом интегрирования по частям разложили на составляющие выражения как показано на рисунке. Теперь раскройте скобки и слагаемое, которое подчеркнуто красным перенесите влево. Дальше слева приведите подобные слагаемые и поделите все на 2.

Получилось так int(sqrt(f^2+1))=1/2(f*sqrt(f^2+1))+int(df/sqrt(f^2+1)

Ну я же просил на 2 поделить, а не на 4

2int(sqrt(f^2+1)=f*sqrt(f^2+1)+int(df/sqrt(f^2+1)

ну да. Теперь осталось последний табличный интеграл посчитать и подставить пределы интегрирования.

Потом дальше будет f*sqrt(f^2+1)+LN(f+sqrt(f^2+1). Осталось подставить пределы интегрирования. Будет: =15/32+LN2=1.161

(15/16)+ln2

Блин точно. Опять эту двойку написал в знаменателе