Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Теория вероятностей _ задачка
Автор: JackRE 23.3.2010, 9:07
Из множества шестизначных номеров 000000-999999 случайным образом выбирается один. Рассматриваются события:
A = {каждая цифра номера встречается дважды}
B = {номер содержит только 4 различные цифры}
C = {сумма цифр номера равна 8}
Помогите найти вероятность события С
Автор: matpom 23.3.2010, 9:26
Из множества шестизначных номеров 000000-999999 случайным образом выбирается один. Рассматриваются события:
A = {каждая цифра номера встречается дважды}
B = {номер содержит только 4 различные цифры}
C = {сумма цифр номера равна 8}
Помогите найти вероятность события С
Судя по тому что спрашиваете только про событие С, то вероятности событий А и В Вы нашли. Предоставьте решение, а так же свои мысли по поводу отыскания вероятности для события С
Автор: JackRE 23.3.2010, 15:09
Событие А:
На первом месте может стоять любая из 10 цифр, на втором любая из девяти, на третьем любая из восьми, на остальных трех позициях может стоять только по одной из цифр уже приведенных. Значит по алгебре событий пишем P(A) = 10*9*8*1*1*1/10^6
Событие В:
Тут может быть два варианта: например, 123412 и, например, 111234.
Поэтому, рассуждая как и в предыдущем варианте, получаем 10*9*8*7*4*4.
По поводу события С у меня нет никаких соображений
Автор: matpom 23.3.2010, 15:17
Какие комбинации для события С Вам подходят?
Что бы сумма цифр =8
Например :
111113 - подходит?
а 111104 ?
Рассмотрите все возможные наборы 6 цифр которые в сумме дадут 8.
(у меня их получилось 20 наборов)
А потом для каждого набора найдите число возможных комбинаций и сложите.
Да долго, но я пока другого решения не вижу.
Может кто то еще подскажет, а пока пробуйте
Автор: JackRE 23.3.2010, 15:56
У меня тоже получилось 20 наборов. Может глупый вопрос, но как считать число возможных перестановок, если надо исключать перестановки одинаковых значений? Например, в наборе 332000 перестановки последних трех цифр не поменяют номер
Автор: malkolm 23.3.2010, 16:13
Событие А:
На первом месте может стоять любая из 10 цифр, на втором любая из девяти, на третьем любая из восьми, на остальных трех позициях может стоять только по одной из цифр уже приведенных. Значит по алгебре событий пишем P(A) = 10*9*8*1*1*1/10^6
Событие В:
Тут может быть два варианта: например, 123412 и, например, 111234.
Поэтому, рассуждая как и в предыдущем варианте, получаем 10*9*8*7*4*4.
По поводу события С у меня нет никаких соображений
Обе вероятности найдены неверно.
Для события А учтены только номера вида 123312, но не учтены номера вида 112233. Для события В учтены только номера вида 123411, но не учтены, например, 111234.
Автор: JackRE 23.3.2010, 16:26
malkolm, а какая нам разница, в каком порядке расположены эти 3 пары чисел? (для события А) По определению классической вероятности нам нужно найти число положительных исходов. В вашем варианте я также могу переписать свой ответ, только в другом порядке: 10*1*9*1*8*1, что равно 10*9*8*1*1*1.
Для события B аналогично
Автор: malkolm 23.3.2010, 16:30
У меня тоже получилось 20 наборов. Может глупый вопрос, но как считать число возможных перестановок, если надо исключать перестановки одинаковых значений? Например, в наборе 332000 перестановки последних трех цифр не поменяют номер
Наборов вида 3+3+2 столько, сколько есть способов выбрать 2 места из 6 возможных под цифру 3, а потом из оставшихся ещё место под цифру 2.
malkolm, а какая нам разница, в каком порядке расположены эти 3 пары чисел? (для события А) По определению классической вероятности нам нужно найти число положительных исходов. В вашем варианте я также могу переписать свой ответ, только в другом порядке: 10*1*9*1*8*1, что равно 10*9*8*1*1*1.
Для события B аналогично
Разница - ни в чём, однако в событие А входят и те номера, и другие. А Вы посчитали вероятность только первых.
Вы сейчас говорите примерно следующее:
Я: Какова вероятность получить не менее четырёх очков на правильно кости?
Вы: 1/6.
Я: Почему?
Вы: Потому что вероятность получить 4 очка 1/6.
Я: А как же 5 или 6?
Вы: Так ведь у любого из них вероятность тоже 1/6!
Автор: JackRE 23.3.2010, 16:53
То есть вы имеете ввиду что в данном случае надо считать число размещений из 6 по 3 + число размещений из 6 по 1?
То есть, если я правильно вас понял, вы хотите сказать что вероятность события А в 2 раза больше, чем 10*9*8/10^6?
Автор: malkolm 23.3.2010, 17:18
То есть вы имеете ввиду что в данном случае надо считать число размещений из 6 по 3 + число размещений из 6 по 1?
Нет, не число размещений. А число сочетаний. Поробуйте понять, почему оно.
То есть, если я правильно вас понял, вы хотите сказать что вероятность события А в 2 раза больше, чем 10*9*8/10^6?
Нет, не в два. Во много раз больше. Возьмите один номер из числа "посчитанных" - например, 123213, и попробуйте вычислить, сколько номеров возможно именно с данным набором цифр.
Автор: Juliya 23.3.2010, 21:30
Из множества шестизначных номеров 000000-999999 случайным образом выбирается один. Рассматриваются события:
A = {каждая цифра номера встречается дважды}
Нуу.. Наконец-то интересная задачка... попробую и я внести свою толику...
Итак, событие А.
Вы должны учесть:
- какие из 10 имеющихся 3 цифры попадут в номер (что это будет?)
- на каких местах они будут стоять (что это будет?)
- сколько существует перестановок различных цифр (что это будет?)
(пункты 1 и 3 можно объединить)
если ничего сама не напутала..
Нет, не в два. Во много раз больше.
malkolm, в 90 раз?
Автор: Juliya 23.3.2010, 21:57
ну или ещё проще придумала объяснение:
должно попасть 3 набора по 2 одинаковых цифры.
Число способов выбора цифры 1-го набора*число способов выбора мест, которые они вдвоем могут занять*число способов выбора 2-й цифры*число мест, которые эти 2 могут занять*число способов выбора 3-й цифры (ну а места для них уже определены:))
после правильного решения по А, с В проблем не должно быть.
событие С
варианты набора нужных цифр
У меня тоже получилось 20 наборов.
а как у вас так получается?
у меня вроде только 17 набралось..
8-00000
7-1-(0 не пишу дальше)
6-2
6-1-1
4-4
4-3-1
4-2-2
4-2-1-1
4-1-1-1-1
3-3-2
3-3-1-1
3-2-2-1
3-2-1-1-1
3-1-1-1-1-1
2-2-2-2
2-2-2-1-1
2-2-1-1-1-1
а как учесть - так же как и в А - определить число мест для каждой цифры.
Автор: matpom 24.3.2010, 6:48
варианты набора нужных цифр
а как у вас так получается?
у меня вроде только 17 набралось..
8-00000
7-1-(0 не пишу дальше)
6-2
6-1-1
4-4
4-3-1
4-2-2
4-2-1-1
4-1-1-1-1
3-3-2
3-3-1-1
3-2-2-1
3-2-1-1-1
3-1-1-1-1-1
2-2-2-2
2-2-2-1-1
2-2-1-1-1-1
а как учесть - так же как и в А - определить число мест для каждой цифры.
Юля, а у меня получилось 20 наборов:
Дополнительно к тем наборам которые записали Вы :
1-1-1-5
1-2-5
3-5
Вот вроде все.
Автор: JackRE 24.3.2010, 6:53
Правильно ли я считаю?
C10_1*C6_2*C9_1*C4_2*C8_1
Для события С вроде получилось, число совпало с пощитанным программным методом и равно 1287.
Автор: JackRE 24.3.2010, 7:18
1-2-5
3-5
Вот вроде все.
Все верно, у меня точно также получилось
Автор: matpom 24.3.2010, 7:53
Все верно, у меня точно также получилось
Давайте для примера рассмотрим сколько способов есть во для такого набора:
1-1-1-5
3 тройки и 1 пятерка. остальные нули
Расставим сначала "1" число способов С(3;6)=6!/(3!*3!)=20
После того как расставили "1", будем ставить 5, но осталось только 3 места
Значит С(1;3)=3
Для такого набора есть 20*3=60 разных комбинаций.
Как то так....
Автор: JackRE 24.3.2010, 10:13
Это я понял, я сейчас считаю событие А, вот не знаю, верен ли такой подсчет: C10_1*C6_2*C9_1*C4_2*C8_1?
Автор: Juliya 24.3.2010, 11:20
Правильно ли я считаю?
C10_1*C6_2*C9_1*C4_2*C8_1
Для события С вроде получилось, число совпало с пощитанным программным методом и равно 1287.
Да,все верно по-моему:
10 вариантов выбора первой цифры, умножаем на число мест, на которых она может стоять C(6;2) и т.д.
10*C(6;2)*9*C(4;2)*8*1
или
А(10;3)*C(6;2)*C(4;2)
64800?
по С - точно, про 5 забыла...
Автор: JackRE 24.3.2010, 13:54
Да, получается 64800. Всем спасибо за помощь=) сейчас буду решать событие В
Автор: JackRE 24.3.2010, 14:21
Так, что-то В не получается. Пишу так:
С10_1*С4_1*С9_1*С3_1*С8_1*С2_1*С7_1*С1_1*С4_1*С2_1*С4_1*С1_1
Получается слишком большое значение, что вероятность будет >1
Автор: Juliya 24.3.2010, 14:34
Из множества шестизначных номеров 000000-999999 случайным образом выбирается один.
B = {номер содержит только 4 различные цифры}
Мне кажется, здесь надо рассмотреть 2 возможных варианта:
1. Три одинаковых цифры+3 разных
2. 2 пары одинаковых цифры + 2 других разных
Вашу запись не понимаю...
Автор: malkolm 24.3.2010, 15:50
Не-не-не-не, в событии А теперь сильно перебрали вариантов. Смотрите: показываю, что считает число C(10,1)*C(6,2)*C(9,1)*C(4,2)*C(8,1) = 10*C(6,2)*9*C(4,2)*8.
Сначала выбираем 10 способами цифру (можем 1, можем 2, можем...), потом два места под неё.
1) Например, можем выбрать 1 и два места: 1хх1хх.
2) А можем выбрать 2 и два места: х22ххх.
Это два разных варианта. Шагаем в каждом из них дальше: выбираем вторую цифру 9 способами, и два места под неё.
В первом варианте можем выбрать 2 и места 2,3: 1221хх
Во втором варианте можем выбрать 1 и места 1,4: 1221хх.
Выбирая в каждом из этих вариантов третью цифру одну и ту же, получим несколько раз посчитанный один и тот же номер.
Нужно либо цифры выбирать как C(10,3) - а потом на выбранные сначала места ставить младшую, на следующие - среднюю, на следующие - бОльшую из выбранных, либо число вариантов C(6,2)*C(4,2)*C(2,2) поделить на 3! - число перестановок выбраных пар мест.
malkolm, в 90 раз?
Неа, всего в 15
Автор: Juliya 24.3.2010, 16:27
у меня сначала была версия С(10;3) - число способов выбора цифр*на число мест для каждых C(6;2)*C(4;2), но потом я её почему-то забраковала... а ведь их переставлять и правда не нужно...
так итог:
С(10;3)*C(6;2)*C(4;2) ? 10800?
Нуу.. Наконец-то интересная задачка... попробую и я внести свою толику...
Итак, событие А.
Вы должны учесть:
- какие из 10 имеющихся 3 цифры попадут в номер (что это будет?)
- на каких местах они будут стоять (что это будет?)
т.е. вот это лишнее, да?
Автор: malkolm 24.3.2010, 18:55
Да, так.
Автор: JackRE 25.3.2010, 15:53
Все равно не понятно, слишком большое число получается. Напишите как это получится, а я попробую разобраться
Так правильно?
С10,3*C6,1*C5,1 + C10,4*C6,2*C4,2*C2,1
Автор: malkolm 25.3.2010, 17:04
Нет, неправильно. Давайте считать число наборов вида xxxyzt (одна цифра - трижды, остальные - по разу). Прежде, чем что-либо считать, нужно с последовательностью действий определиться. Чтобы создать такой номер, нужно:
1) выбрать х
2) выбрать три места, где он будет стоять
После этого создан номер с тремя незаполненными местами, например 1?11??. Что дальше нужно выбирать?
3) выбрать ...
4) выбрать ...
5) выбрать ...
Перемножив все варианты каждого действия, получим число всевозможных благоприятных номеров такого типа.
Потом так же нужно считать число номеров вида xxyyzt.
Автор: JackRE 26.3.2010, 15:15
Выбрать y, и два места, где может стоять
также z и t
Значит получаем 10*С6,3*9*C3,1*8*C2,1?
Автор: malkolm 26.3.2010, 16:39
Про х - все верно посчитали, а начиная с y,z,t - неправильно. Одни и те же исходы снова по нескольку раз учли.
Давайте забудем про выбранный х, уже где-то стоящий. У Вас есть трёхзначный номер (оставшиеся три позиции). Сколько таких номеров можно сделать из неповторяющихся цифр, отличных от х?
Автор: JackRE 27.3.2010, 6:59
Вот, вроде так: 10*С6,3*С9,3*3*2
Правильно?
Автор: Juliya 27.3.2010, 9:58
или, что то же самое -10*С(6;3)* 9*8*7
или 10*С(6;3)*А(9;3)
для первых, одинаковых, цифр не важен порядок следования, важно только, какие места они займут, для последних различных важен порядок.
Автор: malkolm 27.3.2010, 11:08
Точно. Теперь осталось так же аккуратно пересчитать число номеров типа xxyyzt.
Автор: JackRE 27.3.2010, 15:07
Так, а для номеров вида xxyyzt вроде так получается:
10*С6,2*9*C4,2*C8,2*C2,1 или 10*С6,2*9*C4,2*A8,2 Верно?
Автор: malkolm 27.3.2010, 15:29
Так, а для номеров вида xxyyzt вроде так получается:
10*С6,2*9*C4,2*C8,2*C2,1 или 10*С6,2*9*C4,2*A8,2 Верно?
Снова те же грабли, что страницей ранее. Убедитесь, что (в выделенном красным) каждый исход считаете дважды.
Автор: JackRE 28.3.2010, 4:23
Все, разобрался! Получается С10,2*C6,2*C4,2*A8,2
Автор: JackRE 28.3.2010, 6:46
Еще по этой же задаче вопрос. Как найти P(неА+неВ)?
P(неА+неВ) = 1-P(A)+1-P(В)-P(неАнеВ). Следовательно, нужно найти P(неАнеВ)
Автор: malkolm 28.3.2010, 11:17
А не проще найти P(AB) и затем его дополнения?
Автор: JackRE 28.3.2010, 15:29
Не понял. Как это будет выглядеть?
Автор: malkolm 28.3.2010, 16:20
не(AB) = не А U не B.
Автор: JackRE 29.3.2010, 13:02
Всем спасибо, сегодня сдал на проверку
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)