Версия для печати темы

Автор: izo_max 16.12.2009, 9:53

Задача №1

Найти определитель матрицы



буду премного благодарен если подскажете формулу для нахождения определителя

Задача №2

Найти значение функции



задача сделана неправильно, укажите мои ошибки пожалуйста

Задача №3

Решить систему 3-мя способами:
Метод Гаусса, способ решения с помощью обратной матрицы, метод Крамера



Метод Крамера - сделано верно



объснение действий:
1 - построил обычную матрицу, попытался найти ранг матрицы, не вышло
2 - построил расширенную матрицу, привел к нулю нижнюю строку для нахождения z, ранг матрицы найти тоже не получилось
в конце концов числа не сошлись и ответ, следовательно, не верный
с методом Гаусса "не дружу", не могли бы вы мне его объяснить?

Обратную матрицу составить не получилось ибо запутался

Автор: tig81 16.12.2009, 11:16

Методов несколько:
1. Теорема Лапласа
2. Разложение по строке/столбцу (аналог пункта 1)
3. Приведение к верхнетреугольному виду.
Я неоднократно даала ссылки на методы вычисления, поищите по форуму или воспользуйтесь поиском, в сети ну очень много информации на эту тему.

1. 4-я строка: в конце надо написать +6Е, где Е - единичная матрица соответствующего порядка.
2. И далее это слагаемое не равно записанной вами матрице, т.е. матрица 6Е не равна матрице

3. Когда находили А^2, пееставили местами элементы а21 и а22 (вторая строка)

это хорошо

можно отдельно не находит ранг матрицы системы, а все делать на расширенной, только в конце просто не рассматривать столбец свободных коэффициентов

что значит, "привел к нулю"? Вы расширенную матрицу привели к ступенчатому виду.

Вы ранг находите не для определения значения переменной, а для выяснения совместна система или нет. Как вы определяете ранг? Что вы понимаете под этим понятием?

А вдруг Крамером неправильно сделали? Или там производили проверку?

Что вам конкретно не понятно?
Когда приводили к ступенчатому виду, по-моему, неправильно вычислили элемент а23 (когда от второй строки отнимали 8 первых: -6-8*(-1)), аналогично с элементом а33. Аналогично и с элементом а34. Ну, соответственно, дальше неправильно. И не совсем поняла последние преобразования.

В чем запутались? Как составляли? Каким методом находили? Показывайте решение, посмотрим.

Автор: граф Монте-Кристо 16.12.2009, 11:39

1)Будете считать по общей формуле - запутаетесь. Нужно использовать то, что при сложении строк определитель не меняется,а при умножении строки на число k - увеличивается в k раз.
2)Неправильно возвели в квадрат и что там такое за второе слагаемое? При умножении матрицы на число на это число увеличивается каждый её элемент.
3)Ранг матрицы - максимальное число линейно независимых в ней строк(или столбцов). При элементарных преобразованиях он не меняется, отсюда сразу вытекает способ его нахождения - нужно привести её к треугольному виду, тогда число ненулевых строк и будет рангом.
В преобразованиях у вас ошибка - неверно вычли из второй строки первую.

Автор: tig81 16.12.2009, 11:41

В столько раз он изменяется.

Автор: граф Монте-Кристо 16.12.2009, 11:52

Ну да, я это и имел в виду

Автор: tig81 16.12.2009, 12:14

догадалась

Автор: izo_max 16.12.2009, 19:03

Теорема Лапласа
ей воспользовавшись... у меня получился ответ 1081 (по модулю), на что преподаватель при проверке мне ответил что число по модулю больше 100 быть не может (мне этот момент непонятен был, т.е. почему быть не может?)
решение по ней
А11=-55
А12=72
А13=-23
А14=-180
получилось это методом вычеркивания строки и столбца, пересекающихся на взятом элементе
и далее
4*(-55)+4*72+3*(-23)+6*(-180)=-220+288-69-1080=-1081
может надо было их решать методом дописывания элементов как в методе Крамера?

Приведение матрицы к треугольному виду, с этим методом, к сожалению, незнаком(
из найденного в сети я так понял что этот метод похож на метод Гаусса

т.е. будет
(1 6)*(1 1)
(6 1) (1 1)?
?


т.е. в примере должно было быть
8*5+3*3?


нет, вы не поняли, я имел ввиду, что в нижней строке остался только z, а ранг для этой расширенной матрицы я найти не смог
под рангом матрицы я понимаю наибольший порядок неравного 0 минора матрицы А - это из конспекта
т.к. у нас математику ведут два преподавателя, то объяснение "по простому" от них было разное, точнее вообще одно - ранг матрицы определяется по квадрату, который в матрице не имеет ни в одной строке/столбце нулей
например:
(1 1 1)
(2 2 2)
(3 3 0)
преподаватель объяснил что у этой матрицы ранг будет 2, т.е. 3 строка/столбец не учитываются в получающемся квадрате так как содержат элемент равный нулю,
не могли бы вы мне объяснить как на самом деле ранг искать?


метод Крамера сделан верно, так как единственный верно решенный пример во всей работе
подтверждено преподавателем...



и правда... неправильно
значит там получается
(1 1 -1| 1) (1 1 -1| 1)
(0 -5 2|-6)~(0 -5 2|-6)
(0 -3 1|-1) (0 0 -1|13)
тогда
z=-13
y=(-6-26)/-5=-4
x=1+4-13=-8
хм... надо что то делать с невнимательностью...



Ax=B
x=B/A=(1/A)*B=A^(-1)*B
(1 1 -1)
A^(-1)=1/detA (8 3 -6)
(4 1 -3)

A11=-15 A21=-4 A31=-9
A12=-48 A22=-7 A32=-14
A13=-4 A23=-3 A33=-5

detA=1, из метода Крамера
(-15 -4 -9) (1)
x=A^(-1)*B=1/1(-48 -7 -14)*(2)
(-4 -3 -5) (3)
дальше не успел, времени не хватило...
дома додумал но как то не очень
(-15 -4 -9) (1)
1*(-48 -7 -14)*(2)
(-4 -3 -5) (3)
непонятно что делать с единицей
если ее оставить, то получится
(-50)
1*(-104)
(-25)
какие то очень заоблачные цифры получились...

Автор: tig81 16.12.2009, 19:26

[quote name='izo_max' date='16.12.2009, 21:03' post='48150']
Теорема Лапласа
ей воспользовавшись... у меня получился ответ 1081 (по модулю), на что преподаватель при проверке мне ответил что число по модулю больше 100 быть не может (мне этот момент непонятен был, т.е. почему быть не может?)[/quote]
Ну этот вопрос преподавателю и надо адресовать. Прикрепите решение, посмотрим.
[quote]решение по ней
А11=-55
А12=72
А13=-23
А14=-180
получилось это методом вычеркивания строки и столбца, пересекающихся на взятом элементе
и далее
4*(-55)+4*72+3*(-23)+6*(-180)=-220+288-69-1080=-1081[/quote]
Определитель равен -277.
[quote]может надо было их решать методом дописывания элементов как в методе Крамера?[/quote]
а причем это здесь?Нет, не путайте.
[quote]Приведение матрицы к треугольному виду, с этим методом, к сожалению, незнаком([/quote]
Хороший способ, посмотрите, мне нравится.
[quote]из найденного в сети я так понял что этот метод похож на метод Гаусса[/quote]
Ну практически, только в этом случае можно работать и со столбцами. Ну разложите определитель по строке или столбцу, придите к определетелям третьего порядка.
[quote]т.е. будет
(1 6)*(1 1)
(6 1) (1 1)?
?[/quote]
Как из ЧИСЛА 6 получили выделенную МАТРИЦУ? Единичная матрица также не так выглядит.
[quote]т.е. в примере должно было быть 8*5+3*3?[/quote]
Не помню как должно быть, но элементы стоящие во второй строке надо поменять местами
[quote]нет, вы не поняли, я имел ввиду, что в нижней строке остался только z, а ранг для этой расширенной матрицы я найти не смог[/quote]
И снова не поняла. Граф написал, как найти ранг. Раз вы приводите матрицу к ступенчатому виду, то зачем вам миноры? Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду.
Например, имеется расширенная матрица некоторой системы, которую уже привели к ступенчатому виду
1 2 3 4
0 0 2 3
0 0 0 1
Так вот ранг матрицы системы (ее элементы выделены красным) в этом случае равен 2, т.к. она содержит в своем ступенчатом виде две ненулевые строки, а ранг расширенной матрицы равен 3.
[quote]под рангом матрицы я понимаю наибольший порядок неравного 0 минора матрицы А - это из конспекта
т.к. у нас математику ведут два преподавателя, то объяснение "по простому" от них было разное, точнее вообще одно - ранг матрицы определяется по квадрату, который в матрице не имеет ни в одной строке/столбце нулей
например:
(1 1 1)
(2 2 2)
(3 3 0)
преподаватель объяснил что у этой матрицы ранг будет 2, т.е. 3 строка/столбец не учитываются в получающемся квадрате так как содержат элемент равный нулю,
не могли бы вы мне объяснить как на самом деле ранг искать? [/quote]
В данном случаелегче с использованием ступенчатой матрицы.
[quote]метод Крамера сделан верно, так как единственный верно решенный пример во всей работе
подтверждено преподавателем...[/quote]
ясно
[quote]и правда... неправильно
значит там получается
(1 1 -1| 1) (1 1 -1| 1)
(0 -5 2|-6)~(0 -5 2|-6)
(0 -3 1|-1) (0 0 -1|13)
тогда
z=-13
y=(-6-26)/-5=-4
x=1+4-13=-8
хм... надо что то делать с невнимательностью...[/quote]
Хм... вроде так. По-моему сошлось с Крамером?
[quote]Ax=B
x=B/A=(1/A)*B[/quote]
На множестве матриц операция деления неопределена. Нет такого понятия: поделить на матрицу А. Так что так писать нельзя и забудьте, что вы так когда-то писали.
[quote]=A^(-1)*B[/quote]
А вот так правильно. Пишите так всегда.
(1 1 -1)
[quote]A^(-1)=1/detA (8 3 -6)
(4 1 -3)

A11=-15 A21=-4 A31=-9
A12=-48 A22=-7 A32=-14
A13=-4 A23=-3 A33=-5[/quote]
Проверку делали, что А*А^(-1)=Е? У меня совсем другая получилась обратная. Как считали алгебраические дополнения?
[quote]detA=1, из метода Крамера[/quote]
Замечательно, а то некоторые по два раза определитель считают.
(-15 -4 -9) (1)
[quote]x=A^(-1)*B=1/1(-48 -7 -14)*(2)
(-4 -3 -5) (3)
дальше не успел, времени не хватило...[/quote]
Исправьте обратную
[quote]дома додумал но как то не очень
(-15 -4 -9) (1)
1*(-48 -7 -14)*(2)
(-4 -3 -5) (3) [/quote]
Что додумали?
[quote]непонятно что делать с единицей[/quote]
А чему равно произведение 1*а?
[quote]если ее оставить, то получится
(-50)
1*(-104)
(-25)[/quote]
Ну нормально (это про 1), а числа понятно, что не верно, Крамером другое.
[quote]какие то очень заоблачные цифры получились...[/quote]
Числа как числа, но не для этой системы.




Хм... не вижу где тег не поставила или лишний наоборот, а то что-то цитатки не получаются.

Автор: izo_max 17.12.2009, 16:53

распишите пожалуйста как вы это получили... не понимаю
вопрос по треугольному виду - что бы его получить нужно все элементы главной диагонали привести к 0?


вот пример этот

что тогда делать с цифрой 6? я поискал и преобразования числа в матрицу ненашел, видимо так делать нельзя...
мне это подсказал одногруппник, когда мы эту работу писали...

с рангом матрицы ясно... все нулевые строки не учитываются а количество остальных строк и будет являтся рангом... правильно?


да, сошлось


это будет равно а

Автор: tig81 17.12.2009, 17:24

аккуратно все сделаете, увидите. Давайте свое решение.

нет, все элементы, стоящие под главной диагональю, а дальше воспользоваться свойством определителей.

С числом 6.
Видимо. Как вы из парты сделаете слона? Я вам уже писала, при подставлении в матрицу последнее слагаемое надо записать в виде 6Е, где Е - единичная матрица соответсвтующего порядка. Какая матрица называется единичной?

наврал.

типа что-то того

Это хорошо

так что будете с 1 делать?

Автор: izo_max 17.12.2009, 17:56

ну мое решение было, как я и говорил, через формулу detA=a11*A11+...a(1n)*A(1n)

новое решение будет чуть позже, тех. проблемы с офисом, решение будет картинкой

вот в этой формуле

объясните пожалуйста почему тут только 0+0+0, а куда делись элементы 3, 0, 7?


единичная матрица в данном случае будет
(1 0)
(0 1)
т.е. получается
(6 0)
(0 6)
или я что то перепутал снова?


в таком случае, наверное, сокращать...

Автор: tig81 17.12.2009, 18:00

откуда вы взяли это решение? Исходный определитель можно было и не раскрывать, а использовать тот факт, что определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

они никуда не делись, просто определитель раскрыт по первому столбцу (хотя зачем? Если можно воспользоваться свойством), а не по первой строке, как вы думаете.



О майн гот! На что именно сокращать?
1*а=а, вы на 1 сократили?

Автор: izo_max 17.12.2009, 18:05

спасибо!


я имел ввиду раз 1*а=а, то 1 можно просто убрать...

Автор: tig81 17.12.2009, 18:11

Пожалуйста!
но если это определитель из первого поста, то что-то тогда как-то...

а...

Автор: izo_max 17.12.2009, 19:20

не не не не, я осознал свои ошибки и решу заного

изначально была матрица


|4 4 3 6|
|0 -16 23 -6|
|0 3 7 4|
|0 -6 -13 -8|

|4 4 3 6|
|0 -16 23 -6|
|0 0 181 54|
|0 0 -173 -46|

|4 4 3 6|
|0 -16 23 -6|
|0 0 181 54|
|0 0 ??? ???|
дальше считать не стал, вроде уже неправильно
ошибка в числах, но вроде все правильно счтиал

Автор: Dimka 17.12.2009, 19:35

У капитанов есть ранг, определяется числом ненулевых звездочек на погонах.

Автор: izo_max 17.12.2009, 19:41

к чему бы это?

Автор: Dimka 17.12.2009, 19:45

Если не решите, то пойдете в капитаны сапоги топтать.

Автор: izo_max 17.12.2009, 19:47

очень мотивирует на решение =)

Автор: Dimka 17.12.2009, 19:58

Я бы на Вашем месте 1 задание решил бы по-другому - по современному. разложил бы по элементам 1 строки, затем все внутренние определеители тоже по элементам строки и т.д до тех пор, пока вся запись не получилась бы в строчку, затем знак равно и идем в эксель. Забиваем матрицу и готовой командой вычисляем определитель. После знака равно записываем готовый ответ, и пусть препод докажет, что что-то неправильно. Только в скобках незапутайтесь.

Автор: izo_max 17.12.2009, 20:06

Dimka, в том то вся и проблема - в скобках запутаюсь, как в решении методом Гаусса было так и тут

Автор: Dimka 17.12.2009, 20:10

есть программа, которая приводит матрицу к треугольному виду со всеми промежуточными действиями.

Автор: izo_max 17.12.2009, 20:15

Dimka, а подсказать эту программку вы не могли бы?

Автор: Dimka 17.12.2009, 20:25

******************************************************************
4 , 4 , 3 , 3
-1 , -5 , 5 , -3
-4 , -1 , 4 , -2
6 , 3 , -2 , 5

---------

4 , 4 , 3 , 3
0 , -4 , 23/4 , -9/4
0 , 3 , 7 , 1
0 , -3 , -13/2 , 1/2

---------

4 , 4 , 3 , 3
0 , -4 , 23/4 , -9/4
0 , 0 , 181/16 , -11/16
0 , 0 , -173/16 , 35/16

---------

4 , 4 , 3 , 3
0 , -4 , 23/4 , -9/4
0 , 0 , 181/16 , -11/16
0 , 0 , 0 , 277/181

Автор: Dimka 17.12.2009, 20:41

Что, слабо догоняется?

Автор: tig81 18.12.2009, 7:33

Я вместо Dimki отвечу, не против? По-моему, она называется matrix.

Автор: izo_max 18.12.2009, 17:14

насчет всяких программ
я нашел калькулятор матриц
http://www.webmath.ru/web.php#mat
попробовал решить обратную матрицу

и что то непонятно, что с ней дальше делать...
первый раз такой способ вижу и мне кажется он легче обычного, в котором надо находить все Аmn
прошу объяснить что делать дальше с полученной обратной матрицей
мой вариант дальнейшего решения перемножить обратную матрицу и ответ из данного примера, т.е.
(-3 2 -3) (1)
( 0 1 -2)*(2)
(-4 3 -5) (3)

Автор: tig81 18.12.2009, 17:25

матрицы, и обратные в том числе,тне решаются.

выдало сообщение, что данные введены неправильно.

какой способом.
что дальше? я так понимаю искать неизвестные.

это что?чего не довели процесс умножения до конца?

Автор: izo_max 18.12.2009, 17:36

ммм... что у меня не умножается... я в ступоре... должны получиться 3 числа а у меня почему то новая матрица...


там код в моем посте вставлен, скопируйте ссылку из него

а так там получается
Допишем к исходной матрице единичную матрицу справа
1 1 -1 1 0 0
8 3 -6 0 1 0
4 1 -3 0 0 1

Начнем приведение левой квадратной матрицы к единичному виду.
При помощи элементарных преобразований уберем все коэффициенты ниже главной диагонали.

Вычтем 1ю строку из всех строк, которые находятся ниже нее.

1 1 -1 1 0 0
0 -5 2 -8 1 0
0 -3 1 -4 0 1

Вычтем 2ю строку из всех строк, которые находятся ниже нее.

1 1 -1 1 0 0
0 -5 2 -8 1 0
0 0 -0,2 0,8 -0,6 1

Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.

1 1 -1 1 0 0
0 1 -0,4 1,6 -0,2 0
0 0 1 -4 3 -5

Приведем все коэффициенты выше главной диагонали к 0, при помощи элементарных преобразований.

Вычтем 3ю строку из всех строк, которые находятся выше нее.

1 1 0 -3 3 -5
0 1 0 0 1 -2
0 0 1 -4 3 -5

Вычтем 2ю строку из всех строк, которые находятся выше нее.

1 0 0 -3 2 -3
0 1 0 0 1 -2
0 0 1 -4 3 -5

обратная матрица будет
|-3 2 -3|
| 0 1 -2|
|-4 3 -5|

мой вариант дальнейшего решения перемножить обратную матрицу и ответ из данного примера, т.е.
(-3 2 -3) (1)
( 0 1 -2)*(2)
(-4 3 -5) (3)

получается
(-3 2 -3)
(0 2 -4)
(-12 9 -15)

что то не то

Автор: tig81 18.12.2009, 17:55

У меня вот так:http://www.radikal.ru

какого размера? Конечно получится матрица, т.к. при умножении матриц матрица и получается.

Автор: izo_max 18.12.2009, 17:57

странно...
ну я дальше написал решение этой матрицы из того калькулятора
вот еще раз оно
Допишем к исходной матрице единичную матрицу справа
1 1 -1 1 0 0
8 3 -6 0 1 0
4 1 -3 0 0 1

Начнем приведение левой квадратной матрицы к единичному виду.
При помощи элементарных преобразований уберем все коэффициенты ниже главной диагонали.

Вычтем 1ю строку из всех строк, которые находятся ниже нее.

1 1 -1 1 0 0
0 -5 2 -8 1 0
0 -3 1 -4 0 1

Вычтем 2ю строку из всех строк, которые находятся ниже нее.

1 1 -1 1 0 0
0 -5 2 -8 1 0
0 0 -0,2 0,8 -0,6 1

Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.

1 1 -1 1 0 0
0 1 -0,4 1,6 -0,2 0
0 0 1 -4 3 -5

Приведем все коэффициенты выше главной диагонали к 0, при помощи элементарных преобразований.

Вычтем 3ю строку из всех строк, которые находятся выше нее.

1 1 0 -3 3 -5
0 1 0 0 1 -2
0 0 1 -4 3 -5

Вычтем 2ю строку из всех строк, которые находятся выше нее.

1 0 0 -3 2 -3
0 1 0 0 1 -2
0 0 1 -4 3 -5

обратная матрица будет
|-3 2 -3|
| 0 1 -2|
|-4 3 -5|

мой вариант дальнейшего решения перемножить обратную матрицу и ответ из данного примера, т.е.
(-3 2 -3) (1)
( 0 1 -2)*(2)
(-4 3 -5) (3)

получается
(-3 2 -3)
(0 2 -4)
(-12 9 -15)

что то не то

Автор: tig81 18.12.2009, 18:03

так, стоп. Если вы переписали матрицу из калькулятора, т.е. вы уже переписали обратную? А зачем теперь ищите обратную к обратной ? Или я не так понимаю?

Теперь осталось выяснить, обратная к какой матрице? К той, что надо, или еще к какой-то?

о каком ответе идет речь? Т.е. умножим на столбец свободных коэффициентов?

Как такое получается? Если множить матрицу размера 3х3 на матрицу размера 3х1, то в результате получится матрица размера 3х1, но никак не 3х3.

согласна.

Автор: izo_max 18.12.2009, 18:24

нет, там надо было ввести исходную матрицу и получалось решение обратной матрицы


да



так, формулу умножения матриц я нашел
ответ получается
(-3 2 -3) (1) ((-3)*1+2*2+(-3)*3) (-8)
( 0 1 -2)*(2)=(0*1+1*2+(-2)*3)=(-4)
(-4 3 -5) (3) ((-4)*1+3*2+(-5)*3) (-13)

ответ сходится... прекрасно!

Автор: tig81 18.12.2009, 18:28

еще раз, матрицы НЕ РЕШАЮТСЯ.

вот так лучше.

Это хорошо. Правильно нашли

"ответ получается"

Автор: izo_max 18.12.2009, 18:35

Спасибо, tig81, Dimka и Граф Монте-Кристо

Автор: tig81 18.12.2009, 18:36

Пожалуйста!

Автор: Dimka 18.12.2009, 20:38

А конфетку?

Автор: tig81 18.12.2009, 20:54