Версия для печати темы

Автор: PCGAMER2005 26.10.2009, 17:34

Всем привет

Подскажите пожалуйста, как решать такие задания.
Доказать, что из http://www.radikal.ru следует http://radikal.ru/F/s47.radikal.ru/i118/0910/cb/50feeadc2d22.jpg.html.

Вроде бы задание не сложное, но не нашёл примера решения подобного. Подскажите, как подобное выполнять?

Автор: граф Монте-Кристо 26.10.2009, 18:03

Продифференцируйте первое уравнение, в полученное подставьте в одно слагаемое х, а в другое - у, выраженные из исходного уравнения.

Автор: PCGAMER2005 26.10.2009, 18:26

Т.е. первое уравнение(http://www.radikal.ru), нахожу производную по x и y. А дальше что делаю?

Имею два уравнения, их подставлять во второе(http://radikal.ru/F/s47.radikal.ru/i118/0910/cb/50feeadc2d22.jpg.html) вместо dx и dy?

Автор: граф Монте-Кристо 26.10.2009, 18:50

В первом уравнении можно не находить отдельно производные. У Вас есть F(x,y) - Ваше уравнение,причём F(x,y)=0 всегда.Значит, dF=0.Теперь нужно простозанисать это равенство,и в него уже подставлять что-то из первого(исходного) уравнения.

Автор: PCGAMER2005 26.10.2009, 20:40

Т.е. так?
http://www.radikal.ru

Что то я совсем запутался, давайте это уравнение 1, а - уравнение 2.

Так вот из какого выражать и куда подставлять?

Автор: Dimka 26.10.2009, 21:02

Смотрим самое первое Ваше сообщение.

Из нижнего уравнения выразите dy/dx. Дальше обозначение dy/dx=y'

Первое уравнение продифференцируйте как неявную функцию и выразите из него y'

Теперь две производные приравняйте, поупрощайте и убедитесь, что из первого не следует второе.

Автор: PCGAMER2005 26.10.2009, 21:05

Из нижнего это из 2-ого?

Автор: Dimka 26.10.2009, 21:08

да.

Автор: PCGAMER2005 26.10.2009, 21:25

http://www.radikal.ru

Так?

Первое уравнение мы дифференцируем по формуле :http://www.radikal.ru

Там только частные производные...

Потом полученные приравниваем и всё?

Вообщем нашёл производную неявно-заданной функции и приравнял к y', вот что получил:
http://www.radikal.ru

На этом всё?

Автор: Dimka 26.10.2009, 21:25

а дальше упрощаем. Если получится верное тождество (правая часть равна левой), то из..... следует...... иначе не следует.

Автор: PCGAMER2005 26.10.2009, 21:32

Честно говоря, я в ступоре, как дальше упростить можно?

Автор: Dimka 26.10.2009, 21:37

Там дальше не упростишь. Тождество на числах можно проверить. Подставьте x=0.7 и y=0.5 и убедитесь, что правая часть не равна левой. Тождество будет выполняться при x=y.

Автор: PCGAMER2005 26.10.2009, 21:44

Т.е. доказательстов что из ... следует ... неправильно?

При x=y=2 тождество тоже не выполняется.

Автор: граф Монте-Кристо 27.10.2009, 0:03

Dimka
Тождество будет выполняться не при всех иксах и игреках,а только при тех,которые удовлетворяют первому(исходному) уранению.

Автор: Dimka 27.10.2009, 5:47

Цитата(граф Монте-Кристо @ 27.10.2009, 3:03)

Автор: граф Монте-Кристо 27.10.2009, 9:06

Цитата(Dimka @ 27.10.2009, 8:47)

Автор: PCGAMER2005 27.10.2009, 19:25

Поясните пожалуйста, у меня задание стоит, что из 1-ого следует второе, то что равенство быдет выполняться при определённых x что нам даёт?

Автор: граф Монте-Кристо 27.10.2009, 19:34

Вам конкретно - ничего. Если Вы правильно проведёте все преобразования, то из первого Вашего исходного уравнения получите второе.

Автор: PCGAMER2005 27.10.2009, 19:44

Т.е. подставляя допустим x=0 и y=1, получаем что левая и правая часть тождества равна 0. Следовательно тождество верно и следовательно доказательство, что из http://www.radikal.ru следует http://radikal.ru/F/s47.radikal.ru/i118/0910/cb/50feeadc2d22.jpg.html доказано. Ч.т.д.

Так?

Автор: граф Монте-Кристо 27.10.2009, 19:56

Нет конечно.Вы вообще читали,что я Вам выше писал?
Сначала нужно продифференцировать первое уравнение,только не найти частные производные отдельно,а записать через дифференциалы. Там будет два слагаемых: одно при dx, второе с dy. В одно пдставляете x,а в другое - y,выраженные из исходного уравнения.

Автор: PCGAMER2005 27.10.2009, 20:08

Т.е. дифференцируем вот это:http://www.radikal.ru

А x и y откуда выражаем? Или наоборот, что то я совсем запутался...

Цитата(граф Монте-Кристо @ 27.10.2009, 19:56)

Автор: граф Монте-Кристо 27.10.2009, 20:31

Ура.Выразите из исходного уравнения x и подставьте в певую скобку. Потом снова из исходного уравнения выразите теперь уже y и подставьте во вторую скобку.

Автор: PCGAMER2005 27.10.2009, 20:39

Цитата(граф Монте-Кристо @ 27.10.2009, 20:31)

Автор: граф Монте-Кристо 27.10.2009, 20:47

Нет, исходное - это то,которое Вы дифференцировали.

Автор: PCGAMER2005 27.10.2009, 20:52

Цитата(граф Монте-Кристо @ 27.10.2009, 20:47)

Автор: граф Монте-Кристо 27.10.2009, 21:05

x^2*y^2 + x^2 + y^2 - 1 = 0;
Дифференцируем:
(2*x*y^2 + 2*x)*dx + (2*y*x^2 + 2*y)*dy = 0.
В то же время,из первого уравнения(ТОГО,КОТОРОЕ БЕЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ), выражаем x и y:
x = sqrt((1-y^2)/(1+y^2));
y = sqrt((1-x^2)/(1+x^2));
Теперь подставляем выраженное х в первую скобку,а выраженное y - в другую:
sqrt((1-y^2)/(1+y^2))*(1+y^2)*dx + sqrt((1-x^2)/(1+x^2))*(1+x^2)*dy = 0
Теперь осталось вспомнить,что (1+y^2) = sqrt[(1+y^2)^2], (1+x^2) = sqrt[(1+x^2)^2], а sqrt - это квадратный корень.