Версия для печати темы

Автор: Ksuzi 26.5.2007, 17:24

В типовике по диффурам встречается такая задачка:

Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.

Решить ее надо тоже с помощью диф.уравнений, на парах подобные задачки мы не разбирали, и я никак не могу понять, как это решается... Вы можете подсказать?

Автор: venja 27.5.2007, 5:11

Отвечаю чуть подробнее.

Пусть y=y(x) - функция, график которой ищется. Пусть х0 - произвольное число (точка на оси х ). Изобразите кусочек этой кривой (в первой четверти для удобства, т.е. для эскиза возьмите положительное х0) в районе х0 и проведите упомянутую в условии касательную к графику в этой точке. Пусть О - начало координат, А - точка пересечения касательной с осью y, а В - с осью х, а С - точка касания графика. Тогда длина отрезка Сх0=y(x0). Уравнение касательной АВ есть уравнение линейной функции :
y=y'(x0)*(x-x0)+y(x0). Тогда длина ОА равна значению этой функции прих=0, т.е.
ОА=-x0*y'(x0)+y(x0).

По условию АВ=2*СВ, т.е. Треугольники х0СВ и ОАВ подобны с коэффициентом подобия 2. Поэтому
ОА=2*Сх0. Подставляя:
-x0*y'(x0)+y(x0)=2*y(х0)
или
y'(x0)=-y(x0)/x0.
Учитывая, что х0 - произвольно, получаем для искомой функции дифф. ур-е С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ (посмотрите, как такие решаются):

y'=-y/x.
Решайте и получите.

Автор: Ksuzi 27.5.2007, 16:34

Спасибо огромное)))

Автор: Killersmile 26.7.2022, 11:54

Interesting site i love it keep posting more! https://fencingsacramentoca.com/