Версия для печати темы

Автор: devray 20.5.2007, 12:34

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, с задачкой:

Некоторый вид биологической клетки подвергается воздействию, при этом клетка погибает с вероятностью 0,25 и делится на две клетки того же вида с вероятностью 0,75. Пусть Х1 - число живых клеток после воздействия на одну клетку, Х2 - число живых клеток после воздействия на Х1 клеток, Х3 - число живых клеток после воздействия на Х3 клеток. Найти Р(Х3>0).

Продвинулась недалеко
Х1={0;2}, X2={0;2;4}, X3={0;2;4;6;8}
P(X3>0)=P(X3=2)+P(X3=4)+P(X3=6)+P(X3=8)
Далее вопрос в том, как найти каждое из слагаемых...

Для того, чтобы X3=8 необходимо, чтобы X2=4 и каждая клетка поделилась.
Тогда: P(X3=8) = Р(n=4;k=4) = С(4;4)*0,75^4 = 0,31640625

Для X3=6 необходимо, чтобы X2=4, но при этом поделилось только три клетки.
Тогда P(X3=6) = Р(n=4;k=3) = С(4;3)*(0,75^3)*0,25=0,421875

Для X3=4 необходимо, что бы X2=2 и каждая клетка поделилась, либо X2=4, но при этом поделилось только две клетки.
Тогда P(X3=4) = Р(n=2;k=2)+Р(n=4;k=2) = С(2;2)*0,75^2 + С(4;2)*(0,75^2)*(0,25^2) = 0,7734375

Для X3=2 необходимо, что бы X2=2, но поделилась только одна клетка, либо X2=4, но при этом поделилось тоже только одна клетка.
Тогда P(X3=2) = Р(n=2;k=1)+Р(n=4;k=1) = С(2;1)*0,75*0,25 + С(4;1)*0,75*0,25^3 = 0,421875

P(X3>0)= 0,31640625+0,421875+0,7734375+0,421875 >1 - а этого не должно быть.

Подскажите, пожалуйста, в чем я неправа?
Заранее спасибо

Автор: Ботаник 20.5.2007, 15:39

Вероятности исходов после каждого воздействия зависят от вероятностей предыдущих исходов. Млин, не знаю как понятнее объяснить... Нв в общем такие задачи надо решать в нормальном порядке: от первого воздействия к последнему, а не наоборот. Сначала рассматриваем возможные исходы после 1-го воздействия и находим их вероятности. С учётом найденных вероятностей расчитываем вероятности исходов после 2-го воздействия и так далее. Вот начало решения.

http://www.bottanikk.narod.ru/TeorVer/devray1.jpg

Автор: devray 20.5.2007, 16:54

Огромное спасибо!
Видимо в моем случае от долгого раздумья над процессом деления клеток произошло как в анекдоте: подавление низшего разума высшим

Автор: Ботаник 20.5.2007, 17:51

На Айболита учитесь?

По случаю вспомнил анекдот: у доктора Айболита всегда был медицинский спирт. Поэтому по утрам к нему приходили лечиться и Зайчонок и Волчица

Автор: Руководитель проекта 20.5.2007, 19:05

Улыбнуло. Первый раз слышу этот этот анекдот (т.е. читаю )

Автор: devray 20.5.2007, 21:46

Нет, я своё уже отучилась. Хотя до сих пор мучают кошмары в духе скоро защита, а я об этом только узнаю

Просто попросили помочь с ТВ, а я сама-то с ней не очень дружу...

Помогите, пожалуйста с еще одной задачей: в радиоаппаратуре за год работы происходит замена 10 лапм. Найти вероятность выхода аппарата из строя (из-за неисправности ламп) за 1000 часов непрерывной работы.

Понимаю так: аппарат выйдет из строя, если за первую 1000 часов хотя бы одна лампа потребует замены. Проще сначала найти вероятность противоположного события.
1 год = 365 дней*24 часа = 8760 часов => 1000 часов = 0,114 года
Если использовать формулу Пуассона:
P(k)=[(a^k)*e^(-a)]/k! , где а=10*0,114=1,14 . k=0
Тогда P(0)=e^(-1.14)=0.32
Искомая вероятность: р=1-0,32=0,68

Терзают смутные сомнения, что моё решение, как говорится, притянуто за уши.
Если несложно, прокомментируйте его...

Автор: devray 21.5.2007, 15:04

Не теряю надежды получить отзыв

Автор: Ботаник 21.5.2007, 19:01

я занимаюсь вашей задачей.

Автор: devray 21.5.2007, 19:17

Спасибо, что обозначились - "сканирую" форум с самого утра! От ТВ голова уже кругом

Автор: Ботаник 22.5.2007, 14:34

В общем ситуация такая. Как решить эту задачу я пока не знаю. Единственная светлая идея – выяснить, в каком разделе дана эта задача или что конкретно хочет увидеть преподаватель. Моё мнение такое: распределение Пуассона здесь ни при чём. Утверждая это я исхожу из:
1) распределение Пуассона описывает дискретные с.в., которые при этом целые и неотрицательные. Время наработки лампы на отказ явно не этот случай.
2) Для применения закона Пуассона нужно, чтобы было произведено большое число испытаний. Что вы в этой задаче считаете за испытание? Один час работы прибора? А почему час, а не год? В условии же говорится о годе работы
3) Время безотказной работы технического устройства подчиняется закону Вейбулла (по крайней мере так считают) и Гамма-распределению.

Автор: devray 22.5.2007, 15:32

Я, собственно, по этому и обозначила: 1000 часов = 0,114 года

Вообще, эта задача должна решаться или с помощью формулы Бернулли, либо по теореме Лапласа, либо с использованием формулы Пуассона. Она стоит в одном ряду с задачей о бесперебойном обслуживании абонентов, которую я также обозначила в форуме.

Факультет психологии, вечернее отделение... Студенты до сих пор не могут отойти от уровня предложенных задач...

Автор: Ботаник 22.5.2007, 15:40

Ребёночка обучаете? Сочувствую.

Автор: devray 22.5.2007, 16:00

Для начала его ещё нужно родить

Знакомые попросили помочь...

Автор: Ботаник 22.5.2007, 16:22

Чего же ваши знакомые брезгуют сами к нам зайти?

Возвращаюсь к задаче. Не даёт она мне покоя. Достал я учебник Елены Сергеевны Вентцель и ещё раз убедился – чем толще учебник, тем он лучше. В этой мудрой книге я вычитал следующее. Ваша задача может быть решена с использованием закона Пуассона при наложении трёх (весьма разумных) ограничений.
1) отказы ламп распределены во времени статистически равномерно
2) лампы отказывают независимым образом (само собою!)
3) отказы происходят поодиночке, а не парами, тройками и т.д.

Автор: devray 22.5.2007, 16:59

А зачем? Они не на том языке разговаривают, чтобы сюда заглядывать... Я имею ввиду язык математики


Это который Вентцель , Овчаров? Видимо я пролистнула те страницы


Допустим, все перечисленные условия оговорены... А дальше? Мое решение в корне не верно?

Автор: Ботаник 22.5.2007, 17:52

Это который просто Вентцель. Старый (1969 г.в.) и очень качественный учебник.

Автор: devray 7.6.2007, 15:15

Спешу отчитаться:
решение последней задачи, описанное мною выше, преподавателя вполне устроило.

Прикрепляю полное оформление обеих задач, так сказать для потомков
 ______.doc ( 102.5 килобайт ) Кол-во скачиваний: 744


Огромное спасибо Ботанику за участие в обсуждении темы

Автор: Ботаник 7.6.2007, 16:09

Приятненько.
Успехов в учёбе!

Автор: venja 7.6.2007, 16:56

Елена Сергеевна Вентцель. Выдающийся математик. Замечательный педагог. Учебники (не только по ТВ) написаны ясным языком и в оригинальном стиле. Писатель. Литературный псевдоним: Грекова. Роман "Кафедра". Замечательный.