Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Дифференциальные уравнения _ 2xy''y'=y'^(2)-4
Автор: Nat111 22.2.2009, 13:42
Найти общее решение дифференциального уравнения:
2xy''y'=y'^(2)-4
Решение:
2xy''y'=y'^(2)-4
Делаем замену:
y'=z => y''=z'
Следовательно
2xz'z=z^2-4
Правильно? 
Автор: Dimka 22.2.2009, 13:44
да
Автор: Nat111 22.2.2009, 13:56
да
а дальше как я не знаю....
Автор: Руководитель проекта 22.2.2009, 14:05
а дальше как я не знаю....
А дальше разделяйте переменные.
Автор: Nat111 22.2.2009, 14:29
А дальше разделяйте переменные.
это надо разделить левую и правую часть на (2x/z^2)?
Автор: tig81 22.2.2009, 14:57
это надо разделить левую и правую часть на (2x/z^2)?
Эх...
2xz'z=z^2-4
2xzdz/dx=z^2-4
zdz/(z^2-4)=dx/(2x)
Автор: Руководитель проекта 22.2.2009, 15:55
zdz/(z^2-4)=dx/(2x)
Большой роли не сыграет, но я бы записал так: 2zdz/(z^2-4)=dx/x.
Автор: tig81 22.2.2009, 16:02
Большой роли не сыграет, но я бы записал так: 2zdz/(z^2-4)=dx/x.
согласна, так будет лучше.
Автор: Nat111 22.2.2009, 16:32
Большой роли не сыграет, но я бы записал так: 2zdz/(z^2-4)=dx/x.
а дальше интегрировать?
int((2zdz)/(z^2-4))=int (dx/x)
Автор: tig81 22.2.2009, 16:43
а дальше интегрировать?
int((2zdz)/(z^2-4))=int (dx/x)
Ну а что же еще?!
Автор: Nat111 22.2.2009, 16:46
Ну а что же еще?!
в правой части табличный интеграл:
int(dx/x)=ln(x)+c
а вот в левой части не табличный:
int((2zdz)/(z^2-4))=....
а что с ним дальше делать?
вроде дошарила
делаем замену:
где t=z^2-4
dt=2zdz
подставляем:
int((2zdz)/(z^2-4))=int(dt/t)=ln(t)=ln(z^2-4)+с
правильно?
Автор: tig81 22.2.2009, 16:56
в правой части табличный интеграл:
int(dx/x)=ln(x)+c
Правильно, но лучше так:
int(dx/x)=ln(x)+lnc=ln(cx)
int((2zdz)/(z^2-4))=2int((zdz)/(z^2-4))=....
а что с ним дальше делать?
Начинается... А вы про метод замены что-то слышали?Если увидеть, что в числителе стоит произодная знаменателя, то... Вообщем нужно сделать замену z^2-4=t. Двойку лучше не выносить за знак интеграла.
Автор: Nat111 22.2.2009, 16:58
Начинается... А вы про метод замены что-то слышали?Если увидеть, что в числителе стоит произодная знаменателя, то... Вообщем нужно сделать замену z^2-4=t. Двойку лучше не выносить за знак интеграла.
в предыдущем сообщении я добавила... именно так и сделала
получается:
уравнение для общего решение у нас получилось такое:?
ln(z^2-4)=ln(cx)
решение окончено?
Автор: tig81 22.2.2009, 17:03
вроде дошарила
делаем замену:
где t=z^2-4
dt=2zdz
подставляем:
int((2zdz)/(z^2-4))=int(dt/t)=ln(t)=ln(z^2-4)
правильно?
в предыдущем сообщении я добавила... именно так и сделала
Уже увидела...
Автор: Nat111 22.2.2009, 17:05
решенный интеграл:
ln(z^2-4)=ln(cx)
а заместо z что подставлять y'?
тогда получится:
ln(y'^(2)-4)=ln(cx)
правильно?
это уравнение является общим решением?
Автор: tig81 22.2.2009, 17:09
получается:
уравнение для общего решение у нас получилось такое:?
ln(z^2-4)=ln(cx)
да, еще его можно немного упростить, потенциируем:
z^2-4=сх.
Смотрела исходное уравнение со всех сторон, z не нашла...
П.С. Не редактируйте старые сообщения, создавайте новые. А то читать тяжело.
Автор: Nat111 22.2.2009, 17:13
да, еще его можно немного упростить, потенциируем:
z^2-4=сх.
Смотрела исходное уравнение со всех сторон, z не нашла...
y'=z
тогда
y'^(2)-4=cх - общее решение
верно?
Автор: tig81 22.2.2009, 17:17
а заместо z что подставлять y'?
да, т.к. вы именно такую замену делали.
ln(y'^(2)-4)=ln(cx)
правильно?
Ну с учетом упрощений:
y'^(2)-4=cx.
Общее решение не должно содержать производной искомой функции
Автор: Nat111 22.2.2009, 17:20
и что дальше делать?
Автор: tig81 22.2.2009, 17:24
y'^(2)-4=cх - общее решение
верно?Нет. Читайте замечание выше.
Теперь надо решить это ДУ.
и что дальше делать?
Читайте выше.
П.С. У меня инет медленне работает, чем вы сообщения исправляете. Отвечаю на одно сообщение, в форме ответа открывается совершенно другое.
Автор: Nat111 22.2.2009, 17:26
Теперь надо решить это ДУ.
y'=dy/dx
следовательно
(dy/dx)^2-4=cx
интегрируем:
int((dy/dx)^2-4)=int(cx)
так?
а дальше?
П.С. У меня инет медленне работает, чем вы сообщения исправляете. Отвечаю на одно сообщение, в форме ответа открывается совершенно другое.
Автор: Ярослав_ 22.2.2009, 17:31
y'^(2)-4=cх
Четвёрочку перенесите вправо;
Извлеките квадратный корень, про знаки не забудьте;
Интегрируйте.
Автор: tig81 22.2.2009, 17:33
y'=dy/dx
следовательно
(dy/dx)^2-4=cx
интегрируем:
int((dy/dx)^2-4)=int(cx)
так?
Нет. Выразите из полученного ДУ у'. Т.е.
y'^(2)-4=cх
y'^(2)=cх+4
y'=sqrt(cх+4) и y'=-sqrt(cх+4)/
Теперь решайте
y'^(2)-4=cх
Четвёрочку перенесите вправо;
Извлеките квадратный корень, про знаки не забудьте;
Интегрируйте.
Значит, не наврала
Автор: Nat111 22.2.2009, 17:38
y'^(2)-4=cх
Четвёрочку перенесите вправо;
y'^(2)=cx+4
Извлеките квадратный корень, про знаки не забудьте;
Нет. Выразите из полученного ДУ у'. Т.е.
y'^(2)-4=cх
y'^(2)=cх+4
y'=sqrt(cх+4) и y'=-sqrt(cх+4)/
Теперь решайте
int(dy/dx)=-int(sqrt(cx+4))
а дальше?
Автор: tig81 22.2.2009, 17:40
int(dy/dx)=-int(sqrt(cx+4))
а дальше?
Переменные разделите, а затем интегрируйте.
Автор: Nat111 23.2.2009, 11:10
Переменные разделите, а затем интегрируйте.
для этого каждую часть умножим на (dx)
dy=-sqrt(cx+4)dx
правильно?
далее интегрируем:
int(dy)=-int(sqrt(cx+4)dx)
верно?
в правой части интеграла получим у.
в левой части ...
Автор: tig81 23.2.2009, 16:16
в левой части ...
делаем замену сх+4=t^2.
Автор: Nat111 23.2.2009, 16:46
делаем замену сх+4=t^2.
получим
-int(sqrt(t^2)dx)
далее надо избавится от корня?
получим -(1/2)int(dx/t)
так?
Автор: tig81 23.2.2009, 16:59
получим
-int(sqrt(t^2)dx)
почему dx осталось? Кто будет его выражать через dt?
получим -(1/2)int(dx/t)
Как вы избавились от корня?Откуда 1/2 появилась?Почему переменная t оказалась в знаменателе?
Автор: Nat111 23.2.2009, 17:05
почему dx осталось? Кто будет его выражать через dt?
запарилась
сориполучилось
-int(sqrt(t^2)dt)
так?
Как вы избавились от корня?Откуда 1/2 появилась?Почему переменная t оказалась в знаменателе?
-int(t^4dt)
так?
Автор: tig81 23.2.2009, 17:08
запарилась
сориполучилось
-int(sqrt(t^2)dt)
т.е. если сх+4=t, то dx=dt?
Возьмите еще раз производную от левой и правой части.
-int(t^4dt)
Хм... Напишите свои преобразования.
Автор: Nat111 24.2.2009, 16:46
т.е. если сх+4=t, то dx=dt?
то dx=-dt
верно?
Автор: tig81 24.2.2009, 16:51
то dx=-dt
верно?
сх+4=t
(сх+4)'dx=dt
cdx=dt.
Автор: Nat111 24.2.2009, 17:18
сх+4=t
(сх+4)'dx=dt
cdx=dt.
подставляем:
-int(sqrt(t)dt)=
= -int(t^2 dt)=
=
а как теперь от квадрата избавиться?
Автор: tig81 24.2.2009, 17:24
подставляем:
-int(sqrt(t)dt)=
= -int(t^2 dt)=
С каких это пор корень из числа раняется его квадрату?! Т.е. sqrt(4)=4^2?
Хм... Мы ведь не такую замену делали, немного ошиблась:
сх+4=t^2
cdx=2tdt.
П.С. sqrt(t^2)=t.
А зачем от него избавляться?!Нао интегрировать как x^n.
Автор: Nat111 24.2.2009, 17:32
С каких это пор корень из числа раняется его квадрату?! Т.е. sqrt(4)=4^2?
Хм... Мы ведь не такую замену делали, немного ошиблась:
сх+4=t^2
cdx=2tdt.
П.С. sqrt(t^2)=t.
А зачем от него избавляться?!Нао интегрировать как x^n.
-int(sqrt(t^2)*2tdt)=
=-int(t2tdt)=
=-2int(t^2dt)=
=-2*2t^(2-1)=
=-4t=
=-4(cx+4)=
=-4cx+16
верно? или скобки раскрывать не надо было?
y=-4cx+16 - общее решение
решение окончено?
Автор: tig81 24.2.2009, 17:40
-int(sqrt(t^2)*2tdt)=
=-int(t2tdt)=
=-2int(t^2dt)=
=-2*2t^(2-1)=
Это вы производную взяли, а не проинтегрировали...
Итак,
сх+4=t^2
cdx=2tdt => dx=2tdt/c
int(sqrt(cx+4))dx=(2/c)int(t^2dt)=...
Далее открываем таблицу интегралов
Автор: Nat111 24.2.2009, 17:47
Это вы производную взяли, а не проинтегрировали...
Итак,
сх+4=t^2
cdx=2tdt => dx=2tdt/c
int(sqrt(cx+4))dx=(2/c)int(t^2dt)=...
Далее открываем таблицу интегралов
получилось
...=(2/c)((t^(2+1))/(2+1)+c1)=
=(2/c)(t^3/3+c1)
так? еще что нибудь можно с ним сделать? раскрыть скобки? или не надо?
Автор: tig81 24.2.2009, 17:54
получилось
...=(2/c)((t^(2+1))/(2+1)+c1)=
=(2/c)(t^3/3+c1)
так? еще что нибудь можно с ним сделать? раскрыть скобки? или не надо?
1) Еще нужно с ним сделать: вернуться к старой переменной х, т.е. выполнить обратную замену.
2) Можно переобозначить переменные: 2/с=В, 2с1/с=С
Автор: Nat111 24.2.2009, 18:03
1) Еще нужно с ним сделать: вернуться к старой переменной х, т.е. выполнить обратную замену.
2) Можно переобозначить переменные: 2/с=В, 2с1/с=С
...=(2/c)(t^3/3+c1)=
=(2/c)*(t^3/3)+(2/c)*c1=
=(2/c)*(t^3/3)+(2c1/c)=
=(2/c)*(((cx+4)^2)/3)+(2c1/c)=
делаем переобозначение переменных
=В*(((сx+4)^2)/3)+C
верно?
общее решение:
y=В*(((сx+4)^2)/3)+C
так? решение окончено?
Автор: Dimka 24.2.2009, 18:12
У Вас уравнение 2 порядка, соответственно количество постоянных интегрирования должно быть 2, а не 3 как у Вас.
Автор: Nat111 24.2.2009, 18:14
У Вас уравнение 2 порядка, соответственно количество постоянных интегрирования должно быть 2, а не 3 как у Вас.
y=(B((cx+4)^2))/3+c
так?
Автор: tig81 24.2.2009, 18:25
...=(2/c)(t^3/3+c1)=
=(2/c)*(t^3/3)+(2/c)*c1=
=(2/c)*(t^3/3)+(2c1/c)=
=(2/c)*(((cx+4)^2)/3)+(2c1/c)=
Если cx+4=t^2, то как получилось, что t^3=(cx+4)^2?
Автор: Nat111 24.2.2009, 18:30
Если cx+4=t^2, то как получилось, что t^3=(cx+4)^2?
просто (сх+4) должно получиться (т.к. (сх+4) это уже t^2, а до третьей степени нехватает одной степени, т.е. 1) ?
верно?
Автор: Dimka 24.2.2009, 18:33
Ого. Оригинально.
Автор: Nat111 24.2.2009, 18:39
Ого. Оригинально.
а если на правильность???
Автор: Dimka 24.2.2009, 18:47
Вы возьмите справочник или школьный учебник по математике и посмотрите тему распределительный закон умножения, правила преобразования выражений. Если Вы в этом плаваете, то дальше Вы все будете делать неправильно.
(a+d)=t^2
(a+d)^(1/2) =t
(a+d)^(3/2) =t^3 вот как правильно.
Автор: tig81 24.2.2009, 18:49
а если на правильность???
cx+4=t^2 => t=sqrt(cx+4) => t^3=(cx+4)^(3/2)
Автор: venja 25.2.2009, 4:58
Найти общее решение дифференциального уравнения:
2xy''y'=y'^(2)-4
Решение:
2xy''y'=y'^(2)-4
Делаем замену:
y'=z => y''=z'
Следовательно
2xz'z=z^2-4
Правильно?
z(x)=y'^(2)-4
x*z'=z
Автор: tig81 25.2.2009, 15:02
z(x)=y'^(2)-4
x*z'=z
Красотище!
Автор: Nat111 25.2.2009, 15:07
Красотище!
а как до этого решали это неправильно? или мы тоже правильно решили?
=(2/c)*(((cx+4)^(3/2))/3)+c=
переобозначаем переменые
=в*(((сx+4)^(3/2))/3)+c
общее решение. все?
Автор: tig81 25.2.2009, 16:24
а как до этого решали это неправильно? или мы тоже правильно решили?
Это еще один из методов решения
переобозначаем переменые
=в*(((сx+4)^(3/2))/3)+c
несильно что-то изменилось...
Автор: Nat111 25.2.2009, 16:25
несильно что-то изменилось...
не правильно что ли?
можно от степени избавиться. вот у меня получилось, только не знаю правильно или нет:
((сx+4)^(3/2))/3=(3/(sqrt(cx+4)))^3= (3/(sqrt(cx+4))) * (1/3)= (1/(sqrt(cx+4)))
верно?
тогда общее решение будет таким:
y=B*(1/(sqrt(cx+4)))+С = (В/(sqrt(cx+4)))+С
верно?
Автор: tig81 26.2.2009, 12:56
можно от степени избавиться.
вы от степени не избавляетесь, а записываете в другом виде...
(2/c)*(((cx+4)^(3/2))/3)+c=(2/c)/3*sqrt(cx+4)^3+c=Asqrt(cx+4)^3+C.
По-моему так... если ничего не потеряла.
Автор: Nat111 26.2.2009, 13:07
вы от степени не избавляетесь, а записываете в другом виде...
(2/c)*(((cx+4)^(3/2))/3)+(2с1/c)=(2/c)/3*sqrt(cx+4)^3+(2с1/c)=Asqrt(cx+4)^3+C.
По-моему так... если ничего не потеряла.
красным потеряли
СПАСИБО ОГРОМНОЕ ЗА ПОМОЩЬ!!!
Автор: tig81 26.2.2009, 13:23
красным потеряли
У вас копировала...
Автор: Nat111 26.2.2009, 13:27
У вас копировала...
значит я потеряла...
....спасибо огромное
Автор: tig81 26.2.2009, 13:30
Пожалуйста!
Автор: chocolet1 13.10.2022, 11:51
https://gilport.com/ https://gilport.com/content/page2.phpl https://gilport.com/content/page3.php https://gilport.com/in/1.html https://gilport.com/in/2.html https://gilport.com/in/3.html https://gilport.com/in/4.html https://gilport.com/in/5.html https://gilport.com/in/6.html https://gilport.com/in/7.html https://gilport.com/in/8.html https://gilport.com/in/9.html https://gilport.com/in/10.html https://gilport.com/in/11.html https://gilport.com/in/12.html https://gilport.com/in/13.html https://gilport.com/in/14.html https://gilport.com/in/15.html https://gilport.com/in/16.html https://gilport.com/in/17.html https://gilport.com/in/18.html https://gilport.com/in/19.html https://gilport.com/in/20.html https://gilport.com/in/21.html https://gilport.com/in/22.html https://gilport.com/in/23.html https://gilport.com/in/24.html https://gilport.com/in/25.html https://gilport.com/in/26.html https://gilport.com/in/27.html https://gilport.com/in/28.html https://gilport.com/in/29.html https://gilport.com/in/30.html https://gz-zjrq.com/ https://www.ilanda.info https://www.ilanda.info/content/page2.php https://www.ilanda.info/in/yamcha.html https://www.ilanda.info/in/chiaotzu.html https://www.ilanda.info/in/yajirobe.html https://www.ilanda.info/in/so17.html https://www.ilanda.info/in/majinbuu.html https://www.ilanda.info/in/so18.html https://www.ilanda.info/in/santa.html https://www.ilanda.info/in/videl.html https://www.ilanda.info/in/tienshinhan.html https://www.ilanda.info/in/pan.html https://www.ilanda.info/in/songoku.html https://www.ilanda.info/in/songohan.html https://www.ilanda.info/in/piccolo.html https://www.ilanda.info/in/vegeta.html https://www.ilanda.info/in/bulma.html https://www.ilanda.info/in/krilin.html https://www.ilanda.info/in/songoten.html https://www.ilanda.info/in/chichi.html https://www.ilanda.info/in/vuthienlaosu.html https://www.ilanda.info/in/trunks.html https://gz-zjrq.com https://gz-zjrq.com/content/page2.php https://gz-zjrq.com/content/page3.php https://gz-zjrq.com/in/1.html https://gz-zjrq.com/in/2.html https://gz-zjrq.com/in/3.html https://gz-zjrq.com/in/4.html https://gz-zjrq.com/in/5.html https://gz-zjrq.com/in/6.html https://gz-zjrq.com/in/7.html https://gz-zjrq.com/in/8.html https://gz-zjrq.com/in/9.html https://gz-zjrq.com/in/10.htm https://gz-zjrq.com/in/11.html https://gz-zjrq.com/in/12.html https://gz-zjrq.com/in/13.html https://gz-zjrq.com/in/14.html https://gz-zjrq.com/in/15.html https://gz-zjrq.com/in/16.html https://gz-zjrq.com/in/17.html https://gz-zjrq.com/in/18.html https://gz-zjrq.com/in/19.html https://gz-zjrq.com/in/20.html https://gz-zjrq.com/in/21.html https://gz-zjrq.com/in/22.html https://gz-zjrq.com/in/23.html https://gz-zjrq.com/in/24.html https://gz-zjrq.com/in/25.html https://gz-zjrq.com/in/26.html https://gz-zjrq.com/in/27.html https://gz-zjrq.com/in/28.html https://gz-zjrq.com/in/29.html https://gz-zjrq.com/in/30.html
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)