Версия для печати темы

Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате

Образовательный студенческий форум _ Линейная алгебра и аналитическая геометрия _ Канонический базис,жорданова форма матрицы A,базисы суммы и пересечения

Автор: IIPu3PAK 4.2.2009, 8:14

Есть 2 задачи по линейной алгебре:

1)Дано линейное пространство L над полем k, и линейный оператор A:L->L имеет в некотором базисе матрицу A. Построить канонический базис и записать жорданову форму матрицы A
(5 1 -1 -1)
(1 5 -1 -1)
A=(1 1 3 -1)
(1 1 -1 3)
2)Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств P1 и Р2, натянутых на системы векторов: P1=<a1,a2,a3>,P2=<b1,b2,b3>.

a1=(1;1;1;1) b1=(1;2;0;2)
a2=(1;-1;1;-1) b2=(1;2;1;2)
a3=(1;3;1;3) b3=(3;1;3;1)


Касательно второй задачи я додумался до(с помощью конспектов happy.gif):
dim(P1+P2)=dimP1+dimP2-dim(P1^P2)
1)

Код

1  1 1        1  1 1      1  0 0
1 -1 3   ~    0 -2 2  ~   0 -2 0
1  1 1        0  0 0      0 0  0
1 -1 3        0 -2 2      0 0 0

отсюда dimP1=2
...ит.д.
dimP2=3

а что дальше делать я совсем незнаю...
По первой задаче я совсем незнаю что делать...
Может-быть кто-нибудь подскажет Примеры подобных задач с описанием или еще чего... happy.gif'

Автор: tig81 4.2.2009, 18:44

Цитата(IIPu3PAK @ 4.2.2009, 10:14) *

Есть 2 задачи по линейной алгебре:

1)Дано линейное пространство L над полем k, и линейный оператор A:L->L имеет в некотором базисе матрицу A. Построить канонический базис и записать жорданову форму матрицы A
(5 1 -1 -1)
(1 5 -1 -1)
A=(1 1 3 -1)
(1 1 -1 3)

Что нашли из теории?
Цитата
2)Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств P1 и Р2, натянутых на системы векторов: P1=<a1,a2,a3>,P2=<b1,b2,b3>.

a1=(1;1;1;1) b1=(1;2;0;2)
a2=(1;-1;1;-1) b2=(1;2;1;2)
a3=(1;3;1;3) b3=(3;1;3;1)
Касательно второй задачи я додумался до(с помощью конспектов happy.gif):
dim(P1+P2)=dimP1+dimP2-dim(P1^P2)
1)
Код

1  1 1        1  1 1      1  0 0
1 -1 3   ~    0 -2 2  ~   0 -2 0
1  1 1        0  0 0      0 0  0
1 -1 3        0 -2 2      0 0 0

отсюда dimP1=2
...ит.д.
dimP2=3

Правильно, задача на использование формулы Грассмана. Чему равны размерности подпространств Р1 и Р2?
Смотрим примеры http://matclub.ru/doc/prostran.doc

Автор: IIPu3PAK 5.2.2009, 10:17

Цитата
Смотрим примеры здесь


значит дальше так:
x1*a1+x2*a2+x3*a3=y1*b1+y2*b2+y3*b3
...составляем систему относительно коэффициентов х1;х2;х3;у1;у2;у3...
Составим матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований:
Код

1  1 1 -1 -1 -1       1 1 1 -1 -1 -1
1 -1 3 -2 -2 -1       0 -2 2 -1 -1 0
1  1 1 0  -1 -3  ~    0 0 0  1  0 -2
1 -1 3 -2 -2 -1

отсюда Ранг системы=3

из примера...
Цитата
Как видно ранг системы равен 3. Значит ФСР состоит из одного линейно независимого вектора.

а вот мне совсем невидно почему так?

Автор: tig81 5.2.2009, 14:51

Цитата(IIPu3PAK @ 5.2.2009, 12:17) *

а вот мне совсем невидно почему так?

В примере 4 переменных? Количество решений ФСР равно n-r, где n - кол-во переменных,r - ранг матрицы.

Автор: IIPu3PAK 28.5.2009, 5:10

Следуя примеру продолжил во вложении Прикрепленный файл  Построить_канонический_базис_и_записать_жорданову_форму_матрицы_А.doc ( 54 килобайт ) Кол-во скачиваний: 376


как дальше решать я непойму? no.gif

Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)