Версия для печати темы

Автор: Kaena 3.2.2008, 11:12

Здравствуйте! Сижу мучаюсь, никак не могу решить .
Помогите пожалуйста
Зазание
Найти максимальное число линейно независимый столбцов матрицы
.....(2,3,1)
А= (-3,-1,-4)
.....(1,5,3)

Пожалуста помогите
Заранее большое при большое спасибо!
Подскажите нужно ли в решении менять местами 1 и 3 столбец?

Автор: tig81 3.2.2008, 11:24

Воспользуйтесь тем фактом, что столбцовый ранг матрицы равен ее строчному рангу. В матрице работают только со строками.

Автор: Kaena 3.2.2008, 11:33

Я все равно не понимаю Ранг это матрицы равен 2 т.к. 2 стоит на пересечении первой строки и перврго столбца?

Автор: tig81 3.2.2008, 11:44

Тогда, по вашему определению, ранг матрицы
-5 1 -2
0 2 2
равен -5?
Ранг матрицы - это количество ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду путем элементарных преобразований над строками!

Автор: Kaena 3.2.2008, 11:51

Я не могу понять как правильно делать элементарные преобразования.
Если я к 2 сроке прибавлю 3, то первая цифро второй сторки будет 0. А к -1 и -4 тоже нужно прибавлять 3 или нет?

Автор: tig81 3.2.2008, 12:15

К элементарным преобразования над строками матрицы относятся следующие:
1. Умножение строки на любое ненулевое число
2. Перестановка двух строк
3. К одной страке матрицы можно прибавлять другую ее строку, умноженную на ненулевое число.
Поэтому ко второй строке вашей матрицы просто число три прибавлять нельзя!

Автор: venja 3.2.2008, 12:58

Матрица всего 3х3, можно обойтись без элементарных преобразований. Число линейно независимый столбцов матрицы равно ее рангу. Ранг равен наибольшему порядку миноров матрицы, не раввных 0. Уже есть один минор второго порядка, не равный нулю (напрмер, стоящий в левом верхнем углу). Поэтому ранг не менее двух. Осталось посчитать определитель всей матрицы (т.е единственный минор третьего порядка). Если он =0, то ранг =2, иначе 3.

Автор: Kaena 3.2.2008, 13:48

Определитель всей матрицы равен 17. Значит ранг матрицы равен 3

Автор: venja 3.2.2008, 14:59

Если так, то так.

Автор: tig81 3.2.2008, 15:47

конечно можно и так, но в теме сказано, что элементарными преобразованиями, не меняющими ранг.

Автор: venja 4.2.2008, 4:59

Согласен.
Если в задании указан метод, то решать надо указанным методом.

Автор: Kaena 5.2.2008, 14:37

Я просто не понимаю как делать эти элементарные преобразования. В учебниках написаны очень простые примеры на которых все кажется понятным. А относительно данного задания я не понимаю как его выполнить.

Автор: tig81 5.2.2008, 15:00

Давайте все сначала. Что вам необходимо сделать, т.е. где вам надо получить нули!

Автор: Kaena 5.2.2008, 15:17

Я понимаю так, что от верхнего левого угла по диагонали должны стоять 1, а остальные все цифры должны пр элементарном приобразовании стать 0.
По крайней мере так в учебниках написано.

Автор: tig81 5.2.2008, 15:19

не обязательно, На главной диагонали (диагональ от верхнего левого угла ) могут стоять любые числа, под ней нули, а остальные элементы неважно.

Автор: Kaena 5.2.2008, 15:26

Ну теперь более понятно. Спасибо. Я попробую решить, а потом напишу своё решение.

Автор: tig81 5.2.2008, 15:26

пробуйте, т.е. у вас элементы а21, а31, а32 должны = нулю.

Автор: Dimka 5.2.2008, 18:25

В инете есть прога, которая расписывает промежуточные действия. Скачайте ее и приведите матрицу к треугольному виду, иначе просто "запарите" себе мозги умножениями, вычитаниями и перестановками. Вам на будущей работе все равно это не понадобиться, а после экзамена забудете и матрицы и определители вместе с Крамером и Гауссом.

Автор: Kaena 6.2.2008, 13:04

А какое название у этой проги? или адрес где её можно скачать.

Автор: tig81 6.2.2008, 13:06

TheMatrix

Автор: Kaena 6.2.2008, 13:20

Я не знаю правильно это решение или нет, посмотрите пожалуйста.
Матрица
2 3 1
-3 -1 -4
1 5 3
Умножаю вторую сторчку на 5 и прибавляю к третьей, получается
2 3 1
-3 -1 -4
-14 0 -17
Умнажаю вторую строчку на 2, получается
2 3 1
-6 -2 8
-14 0 -17
Умножаю первую строчку на 3 и прибавляю ко второй строчке, умножаю первую строчку на 7 и прибавляю к третьей, получается
2 3 1
0 7 -5
0 21 -10
Умножаю первую строчку на (-7) и прибавляю к третьей, получается
2 3 1
0 7 -5
0 0 -70

элементы а21, а31, а32 = 0

Автор: Kaena 6.2.2008, 13:53

Интересно, а найти ранг системы векторов можно с помощью какой-нибудь проги

Автор: tig81 6.2.2008, 13:58

Умножаю первую строчку на 3 и прибавляю ко второй строчке, умножаю первую строчку на 7 и прибавляю к третьей, получается
2 3 1
0 7 -5
0 21 -10
8+1*3=?

Умножаю первую строчку на (-7) и прибавляю к третьей, получается
2 3 1
0 7 -5
0 0 -70

Автор: Kaena 6.2.2008, 14:19

Да.... Мне её не решить.... Это каким тупым человеком надо быть, что даже элементарно по готовому решению я не могу понять как в этой матрице получилось
2 3 1
0 7/2 -5/2
0 7/2 5/2

затем
2 3 1
0 7/2 -5/2
0 0 5

1 3/2 1/2
0 1 -5/7
0 0 1

1 3/2 0
0 1 0
0 0 1

1 0 0
0 1 0
0 0 1

Подскажите пожалуйста какую строчку на что нужно умножить, а дальше я сама попробую разобраться. ПОЖАЛУЙСТА

Автор: tig81 6.2.2008, 14:38

2 3 1
-3 -1 -4
1 5 3
Я бы делала так:
1. Первую и третью строку матрицы поменяла местами, т.е. получаем матрицу
1 5 3
-3 -1 -4
2 3 1
2. Далее делаем нули в первом столбце, т.е. вместо элементов а21=-3 и а31=2.
3. Затем делаем нули во втором столбце вместо элемента а32.




Как такое получилось:
2 3 1
-3 -1 -4
1 5 3
Ко второй строке прибавляем 3/2 первой (т.е. первую умножаем на 3/2 и прибавляем ко второй). Затем аналогично от третьей вычитаем 1/2 первой.

Автор: Kaena 6.2.2008, 15:17

1 5 3
-3 -1 -4
2 3 1
первую строку умножаю на 3 и прибавляю ко второй, первую строку умножаю на (-2) и прибавляю к третьей
1 5 3
0 14 5
0 -7 -5
первый столбец умножаю на (-5) прибавляю ко второму столбцу, первый столбец умножаю на (-3) и прибавляю к третьему столбцу
1 0 0
0 14 5
0 -7 -5
во втором столбце 2 и 3 строки разделю на 7, в третьем столбце 2 и 3 строки разделю 5
1 0 0
0 2 1
0 -1 1
третью строчку умножу на 1 и прибавлю к второй строчке
1 0 0
0 1 0
0 -1 -1
вторую строчку умножу на 1 и прибавлю к третьей строчке
1 0 0
0 1 0
0 0 -1
третью строчку умножу на (-1)
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Но так наверно нельзя....?

Автор: tig81 6.2.2008, 16:35

Меня учили, что в матрице работают только со строками. Итак, получается матрица
1 5 3
0 14 5
0 -7 -5
Теперь снова меняем местами, только уже третью и вторую строки, получаем матрицу
1 5 3
0 -7 -5
0 14 5
Как нам сделать элемент а32=14 нулевым? Для этого вторую строку умножаем на 2 и прибавляем к третьей.
1 5 3
0 -7 -5
0 0 -5
Получили ступенчатый вид, кол-во не нулевых строк = рангу. (Строка назыв. нулевой, если все ее элементы =0, и ненулевой, если хотя бы один элемент не = нулю). У нас получилось три ненулевых строки. Таким образом, ранг матрицы =3.

Автор: Kaena 9.2.2008, 9:38

СПАСИБО!

Автор: Руководитель проекта 9.2.2008, 10:25

Если ищем ранг матрицы, то можно работать как со строками,. так и со столбцами.
Если же матрица представляет собой матрицу коэффициентов при неизвестных системы линейных уравнений, то столбцы действительно «трогать» нельзя. Поэтому действительно стоит учиться сразу работать только со строками.

Автор: tig81 9.2.2008, 11:04

да, спасибо за уточнение.