Версия для печати темы

Автор: sleeper 3.11.2007, 13:10

Ещё одна задача из этой лабы с которой я не управился.
Доказать, что ∂(A U В) принадлежит (∂A U ∂B)
,где ∂ - граница.
Я делал это через диаграммы Эйлера - но этот способ " не просматривает все варианты".

Что, спрашивается, делать ?

Автор: AlexDemche 3.11.2007, 22:42

Мне просто непривычны немного термины...
Понятие окрестности тут есть?
Если есть, то я так понимаю, что граница A - это множество точек, в любой окрестности которых есть точки не из A?

Автор: venja 4.11.2007, 6:02

и из А тоже

Доказывать, думаю, надо стандартным способом доказательства вкючения множеств: пусть х принадлежит левому множеству. Тогда требуется доказать, что х принадлежит и правому.

Автор: sleeper 4.11.2007, 6:15

Окрестность конешно есть если есть граница
Пусть Х принадлежит ∂(A U В) ....а дальше ?

Автор: A_nn 4.11.2007, 10:56

Ну тут простые совсем рассуждения. Мне бы не хотелось за Вас их расписывать. Напишите сами, что означает

(по определению границы и объединения). Дальше, если сами не увидите, поможем.

Автор: sleeper 4.11.2007, 13:53

НУсссс....
Граница - совокупность граничных точек...
Граничная точка - точка, в окрестности которой лежат точки, принадлежащие и не принадлежащие множеству...
А операция объединения... ну это когда всё вместе соединяется, как ещё определить ?

Автор: AlexDemche 4.11.2007, 16:11

А точки границы не обязаны ведь принадлежать множеству?

А вообще, задача действительно простая.

Автор: sleeper 4.11.2007, 17:22

в этой задаче принадлежат
А если простая то подскажите, А?

Автор: Black Ghost 5.11.2007, 13:50

x принадлежит границе (A U B ) -- это значит, что в любой окрестности этой точки есть хотя бы одна точка x1 из A U B и хотя бы одна точка x2 не из A U B (т.е. x2 не принадлежит ни A, ни B )
x1 принадлежит A U B - это значит, что x1 принадлежит либо A, либо B, либо A и B одновременно

1) Пусть x1 принадлежит A, тогда x принадлежит границе A по определению границы
(мы взяли произвольную окрестность точки x и в ней нашлась точка x1 из А и точка x2 не из A)
2) Пусть x1 принадлежит B, тогда x аналогично принадлежит границе B по определению границы

Т.е. получается, что точка x принадлежит объединению границ A и B

По-моему, так...

Автор: sleeper 6.11.2007, 16:59

ага
спс

Автор: AlexDemche 6.11.2007, 16:59

Не совсем верно. Дело в том, что Вы получается рассмотрели случай, когда в любой окрестности либо есть точка из A, либо в любой окрестности есть точка из B.
А есть еще ситуация, когда, скажем, в первой окрестности есть точка из A, во второй точка из B.... и т.п.

Оно конечно так и получается, что либо в каждой окрестности есть точка из A, либо в каждой есть точка из B и это даже более или менее очевидно, но все же требует доказательства.

Автор: Black Ghost 6.11.2007, 18:17

Не совсем представляю, как это доказать....

А если от противного пойти?
Пусть x принадлежит ∂(A U В) , но при этом не принадлежит (∂A U ∂B), т.е. не принадлежит ∂A и не принадлежит ∂B
Это означает, что
1) x не принадлежит ∂A , тогда существует окрестность точки x либо целиком лежащая в A, либо целиком лежащая вне A
И
2) x не принадлежит ∂B , тогда существует окрестность точки x либо целиком лежащая в B, либо целиком лежащая вне B

Случаи, когда есть существует окрестность целиком лежащая в A или целиком лежащая в B сразу приводят к противоречию с тем, что x принадлежит ∂(A U В)

Остается рассмотреть случай, когда существует окрестность точки x, целиком лежащая вне A и существует окрестность, целиком лежащая вне B. Берем их пересечение и получаем окрестность целиком лежащую вне A U B.

Автор: sleeper 7.11.2007, 16:33

Свихнуться можно.
Содня спросил у препода: сказал "берёте точку в ∂(A U В) и доказывайте что она принадлежит (∂A U ∂B) через определение соединения"