Версия для печати темы

Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате

Образовательный студенческий форум _ Дифференциальные уравнения _ x^2*y' + x*y + 1 = 0

Автор: Magicman 24.1.2011, 1:31

Здравствуйте!

Помогите пожалуйста решить дифференциальное уравнение методом вариационной постоянной

x^2*y' + x*y + 1 = 0

Я так понимаю, что сначала делить нужно на x^2, если так, то как дальше

Спасибо!

Автор: Тролль 24.1.2011, 5:18

Решается с помощью метода вариации постоянной (метод Лагранжа).
Сначала решаем однородное уравнение x^2 * y' + x * y = 0
Отсюда получаем, что y = C/x.
Тогда решение исходного уравнения имеет вид y = C(x)/x.
Подставляем в уравнение и получаем, что C'(x) * x = - 1 => C(x) = -ln |x| + C
Ответ: y = (C - ln |x|)/x.

Автор: Magicman 24.1.2011, 8:36

Цитата(Тролль @ 24.1.2011, 9:18) *

Решается с помощью метода вариации постоянной (метод Лагранжа).
Сначала решаем однородное уравнение x^2 * y' + x * y = 0
Отсюда получаем, что y = C/x.
Тогда решение исходного уравнения имеет вид y = C(x)/x.
Подставляем в уравнение и получаем, что C'(x) * x = - 1 => C(x) = -ln |x| + C
Ответ: y = (C - ln |x|)/x.


Тролль

Сначала решаем однородное уравнение x^2 * y' + x * y = 0

Объясните пожалуйста поподробнее как мы рассуждаем, и куда делась +1, что мы сделали?


Автор: Тролль 24.1.2011, 13:33

Мы оставляем только ту часть, в которой содержится y' и y, а остальное убираем. Это метод Лагранжа.

Автор: Magicman 24.1.2011, 20:56

Цитата(Тролль @ 24.1.2011, 17:33) *

Мы оставляем только ту часть, в которой содержится y' и y, а остальное убираем. Это метод Лагранжа.


Тролль

Если так, то у меня получилось уравнение:

x^2*y+x*y=0

Что дальше можно сделать?

Автор: tig81 24.1.2011, 20:57

Цитата(Magicman @ 24.1.2011, 22:56) *

x^2*y+x*y=0

штрих потеряли. ДУ с разделяющимися переменными.

Автор: Magicman 24.1.2011, 21:03

Цитата(tig81 @ 25.1.2011, 0:57) *

штрих потеряли. ДУ с разделяющимися переменными.


tig81

Попробую, итак:

x^2*y'+x*y=0

y'+y/x=0

dy/dx+y/x=0

dy/y=-dx/x

ln(y)=-ln(x)+lnС

y=-x/y

А как дальше не знаю)))

Автор: tig81 24.1.2011, 21:13

Цитата(Magicman @ 24.1.2011, 23:03) *

tig81
Попробую, итак:
x^2*y'+x*y=0
y'+y/x=0
dy/dx+y/x=0
dy/y=-dx/x
ln(y)=-ln(x)+lnС

Верно
Цитата
y=-x/y

Это как получили?
Цитата
А как дальше не знаю)))

А вот http://www.google.com.ua/search?hl=ru&client=firefox&hs=yBp&rls=org.mozilla%3Aru%3Aofficial&q=%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4+%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8+%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9+%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9&aq=f&aqi=g1&aql=&oq=

Автор: Тролль 24.1.2011, 21:13

Только не y = -x/y.
ln y = -ln x + ln C
ln y = ln C - ln x
ln y = ln (C/x)
y = C/x
А дальше считаем, что C - не константа, а функция, то есть y = C(x)/x.
И подставляем в уравнение x^2 * y' + x * y + 1 = 0.

Автор: Magicman 24.1.2011, 21:19

Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 1:13) *

Только не y = -x/y.
ln y = -ln x + ln C
ln y = ln C - ln x
ln y = ln (C/x)
y = C/x
А дальше считаем, что C - не константа, а функция, то есть y = C(x)/x.
И подставляем в уравнение x^2 * y' + x * y + 1 = 0.


Тролль

Вот здесь я уже не понимаю как делать нужно, напишите пожалуйста как и с чего начать, инструкцию в ссылке я уже прочёл)))

Автор: Тролль 24.1.2011, 21:21

Чему равно y', если y = C(x)/x ?

Автор: Magicman 24.1.2011, 21:33

Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 1:21) *

Чему равно y', если y = C(x)/x ?


Тролль

y' = [C(x)/x]'

Автор: Тролль 24.1.2011, 21:34

А дальше?

Автор: Magicman 24.1.2011, 21:47

Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 1:34) *

А дальше?


Тролль

x^2*[C(x)/x]' + x*[C(x)/x] + 1 = 0

Правильно?

Автор: Тролль 24.1.2011, 21:49

Да, только я имел в виду - чему равно [C(x)/x]' ?

Автор: Magicman 24.1.2011, 21:57

Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 1:49) *

Да, только я имел в виду - чему равно [C(x)/x]' ?


Тролль

[C(x)/x]'=[C(x)/x]'-C(x)/x^2



Автор: Тролль 24.1.2011, 22:05

Какую формулу использовали?

Автор: Magicman 24.1.2011, 22:09

Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 2:05) *

Какую формулу использовали?


Тролль

(u/v)' = (u' * v - u * v')/v^2

Автор: Тролль 24.1.2011, 22:12

Да, тогда почему вот такая ерунда получилась?
[C(x)/x]'=[C(x)/x]'-C(x)/x^2

Автор: Magicman 24.1.2011, 22:14

Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 2:12) *

Да, тогда почему вот такая ерунда получилась?
[C(x)/x]'=[C(x)/x]'-C(x)/x^2


Тролль

Подскажите пожалуйста как будет правильно?

Напишите вычисления производной, пожалуйста?

Автор: Тролль 24.1.2011, 22:15

Цитата(Magicman @ 25.1.2011, 1:09) *

Тролль

(u/v)' = (u' * v - u * v')/v^2


u = C(x), v = x

Автор: Magicman 24.1.2011, 22:19

Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 2:15) *

u = C(x), v = x


Тролль

[C(x)/x]'=(C(x)' * x - C(x) * x')/x^2

Автор: Тролль 24.1.2011, 22:20

Да, только x' чему равно?

Автор: Тролль 24.1.2011, 22:30

А дальше подставляем в уравнение и находим C'(x). Потом находим C(x) и подставляем в y = C(x)/x. Получаем ответ.

Автор: Magicman 24.1.2011, 22:35

Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 2:20) *

Да, только x' чему равно?


Тролль x' = 1

[C(x)/x]'=(C(x)' * x - C(x))/x^2



Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 2:30) *

А дальше подставляем в уравнение и находим C'(x). Потом находим C(x) и подставляем в y = C(x)/x. Получаем ответ.


Тролль

В исходное уравнение подставляем, правильно?

Автор: Тролль 24.1.2011, 22:35

Теперь дальше, как я уже написал.

Правильно.

Автор: Magicman 24.1.2011, 22:42

Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 2:30) *

А дальше подставляем в уравнение и находим C'(x). Потом находим C(x) и подставляем в y = C(x)/x. Получаем ответ.


Тролль

[(C(x)' * x - C(x))/x^2]*x^2 + x*[C(x)/x] + 1 = 0

Автор: Тролль 24.1.2011, 22:43

Находите C'(x).

Автор: Magicman 24.1.2011, 22:44

Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 2:43) *

Находите C'(x).


Тролль

Как его найти, Вы имеете в виду отдельно от C(x)/x?

Автор: Тролль 24.1.2011, 22:44

Скобки раскройте.

Автор: Тролль 24.1.2011, 23:01

А потом приведите подобные и всё получится.

Автор: Magicman 24.1.2011, 23:32

Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 2:44) *

Скобки раскройте.


Тролль

(C(x)' * x - C(x))+C(x)+1=0

C(x)' * x+1=0

Автор: Тролль 25.1.2011, 5:54

C'(x) выражайте.

Автор: Magicman 25.1.2011, 8:43

Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 9:54) *

C'(x) выражайте.


Тролль

Я же уже подставил, другого пути не знаю)))

Автор: Тролль 26.1.2011, 11:08

Цитата(Magicman @ 25.1.2011, 2:32) *

Тролль

(C(x)' * x - C(x))+C(x)+1=0

C(x)' * x+1=0


Чему отсюда равно C'(x)?

Автор: Magicman 26.1.2011, 11:26

Цитата(Тролль @ 26.1.2011, 15:08) *

Чему отсюда равно C'(x)?


Тролль

Напишите пожалуйста, у меня ерунда получается)))

Автор: Тролль 26.1.2011, 14:33

Какая ерунда получилась?

Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)