Версия для печати темы

Автор: mig79 14.10.2010, 18:51

y''+y'+y=e^x, y(0)=0, y'(0)=1
t^2+t+1=0
Подскажите, пожалуйста, как мне решать дальше это уравнение, если D=-3?

Автор: tig81 14.10.2010, 19:06

Посмотрите http://www.reshebnik.ru/solutions/5/14
С комплексными числами знакомы?

А почему -1?

Автор: mig79 14.10.2010, 19:22

извините - опечатка (уже отредоктирывала)
D=-3
да, с комплексными числами знакома, но очень плохо=(
получается, t1=(-1+sqrt(3i))/2; t2=(-1-sqrt(3i))/2 правильно?

Автор: tig81 14.10.2010, 19:27

верно

Практически. Только i не под корнем.

Автор: mig79 14.10.2010, 20:23

вот, что у меня получилось:

y=C1*e^((-1/2)*x)*Cos((sqrt(3)/2)*x)+C2*e^(-1/2)*Sin((sqrt(3)/2)*x)

y'=(-1/2)*e^((-1/2)*x)*Cos((sqrt(3)/2)*x)*(C1-sqrt(3)*C2)-
(1/2)*e^((-1/2)*x)*Sin((sqrt(3)/2)*x)*(C2+sqrt(3)*C1)

Как найти С1 и С2?

Автор: tig81 14.10.2010, 20:29

Т.е. так http://www.radikal.ru?

Вы нашли решение однородного уравнения (в правой части 0), а у вас по условию задано неоднородное, т.к. там стоит e^x. Ищите теперь его решение.
А затем уже перейдем к отысканию неизвестных констант из заданных начальных условий.

Автор: mig79 16.10.2010, 14:47

[quote name='tig81' date='14.10.2010, 20:29' post='62895']
Т.е. так http://www.radikal.ru?


Да.

Решение неоднородного:
y(ч.н.)=Ae^x;
y'(ч.н.)=Ae^x;
y''(ч.н.)=Ae^x;
A= 1/3

Решение неоднородного получилось:

y=e^(-1/2 x) (C1 Cos √3/2 x+C2 Sin √3/2 x)+1/3 e^x;


y'=-1/2 e^(-1/2 x)* (C1 Cos √3/2 x+C2 Sin √3/2 x)+
+e^(-1/2 x)* (-√3/2 C1 Sin √3/2 x+√3/2 C2 Cos √3/2 x)+1/3 e^x;

Подставив начальные условия нахожу константы:
C1=-1/3;
C2=1/√3;

вот какой получился ответ:

y=e^(-1/2 x)* (-1/3 Cos √3/2 x+1/√3 Sin √3/2 x)+1/3 e^x, так?