Версия для печати темы

Автор: VIAB 30.9.2010, 13:36

Доброго времени суток! Нужно найти следующие интегралы:

1)
2)

Помогите, пожалуйста, решить! Заранее благодарен.

Автор: Julia 30.9.2010, 13:41

1) Разложите на простые дроби
2) Выделите в знаменателе полный квадрат

Автор: VIAB 30.9.2010, 13:47

Мои наработки на пример 1:

я разложил дробь на две :
A/(x+1)+(Bx+C)/(x^2+3).
Привёл их к общему знаменателю, затем приравнял к знаменателю первонач. дроби. Получил:
(A+B )X^2+(B+C)X+(3A+C)=X. Решив систему с этими неизвестными, получил: (B=(7/4), A=(-1/4), C=(-3/4).
Представил как сумму интегралов.
В итоге, получил: -(1/4)*ln|x+1|+1/4*интеграл((7x-3)/(x^2+3)). Что делать дальше, не понимаю...

На примере 2, я сделал всё, как вы сказали. Представил знаменатель как
(x^2+x+2)*(x^2-x+1). Получилось:
интеграл ((AX+B )/(X^2+X+1)) + интеграл ((CX+D)/(X^2-X+1)). Затем делал всё по примеру выше. Получил:
A=-1; B=-3/2; C=1; D=-1/2.
Получилось два интеграла:
интеграл((-x-3/2)/(x^2+x+1))+интеграл ((x-1/2)/(x^2-x+1)). Что делать дальше - не понимаю...

Автор: tig81 30.9.2010, 13:53

http://www.reshebnik.ru/solutions/4/7

Автор: Julia 30.9.2010, 13:55

В первом. B и С нашли неверно.
В оставшемся интеграле, почленно разделите числитель на знаменатель. Один из получившихся интегралов быдет табличным, а во втором надо будет сделать замену (t=знаменатель).

Автор: VIAB 30.9.2010, 13:57

сейчас посмотрим...



B и C неверно в первом? или во втором? Судя по всему, во втором...

Автор: Julia 30.9.2010, 13:58

Во втором. Выделите полный квадрат. Должно получиться (x^2+1/2)^2 + 3/4

Автор: VIAB 30.9.2010, 14:06

Первое получилось. Спасибо! Во втором что-то не понимаю...Выделить полный квадрат в итоговой дроби? Сейчас перепроверю B и C во втором...



Извините, прочитал. В первом неверно вычислил B и C. Сейчас там перепроверю...

Автор: Julia 30.9.2010, 14:13

Dj втором неправильно разложили на множители. Квадрат сразу можно выделить.

Автор: VIAB 30.9.2010, 14:14

Сразу? Посмотрим.
x^4+x^2+1 = x^4+x^2+1/4+3/4 = (x^2+1/2)^2+3/4.
Получилась дробь: (x^2-1)/((x^2+0.5)^2+0.75). Вижу, что знаменатель можно вычислить по таблице. Но что сделать с числителем???

Автор: граф Монте-Кристо 30.9.2010, 14:46

А, собственно, какой смысл выделять полный квадрат? На мой взгляд, нужно разложить знаменатель на множители и далее по стандартной схеме.

Автор: Julia 30.9.2010, 14:54

Первое, что в голову пришло, знаменатель "красивый", полный квадрат легко выделяется.
Когда начала решать, увидела, что действительно знаменатель проще разложить на множители x^4+x^2+1 = ((x^2+1)^2-x^2) = (x^2-x+1)(x^2+x+1).

Автор: VIAB 30.9.2010, 15:15

Сделал. ВСЕМ БОЛЬШОЕ СПАСИБО!!!!!!