Версия для печати темы

Автор: telegera 31.5.2010, 19:38

дан многочлен p(z) =z^4 + 3z^3 + z^2 + 4
1) записать каждый корень в алг.форме
2) разложить над полем комплексных чисел С
над полем действительных чисел R

подобрал корень -2
делаю табличку
___|_1|_3|_1|_4|
| -2| 1 | 1 |-1| 2 |

но насколько мне известно последний коэф. в табличке должен получатся 0. что я сделал не так ?

http://www.radikal.ru

Автор: tig81 31.5.2010, 19:55

В таблицу не внесли коэффициент при z.

Автор: telegera 31.5.2010, 19:56

как же, заголовок таблицы это и есть коэфициенты
1 3 1 и 4 - свободный член

http://ipicture.ru/

Автор: tig81 31.5.2010, 20:06

Чему равен коэффициент многочлена, стоящий при z (при z в первой степени). Посмотрите на заданный многочлен: p(z) =z^4 + 3z^3 + z^2 + 4. Видите, что нет "синхронности" в степенях? Четвертая, третья, вторая, нулевая. А в таблицу вносятся все коэффициенты без пропуска.

при z в четвертой

при кубе

квадрате

нулевой.

Автор: telegera 31.5.2010, 20:14

http://www.radikal.ru
получился ноль, а что мне дальше делать, ну как я понял будет деление дальше происходить на многочлен 3ей степени, но какие коэфициенты будут при Z ??

Автор: tig81 31.5.2010, 20:19

да, как и должно

все зависит от того, что вы ходите получить.

Делите вы на многочлен первой степени, а делить будете далее многочлен третьей степени. Вы получили какие-то числа, что это за числа?

он будет один и равняется -1.

Автор: telegera 31.5.2010, 20:30

http://www.radikal.ru

чтото я никак не пойму.
а задание - 1. а): записать каждый корень в алгебр. форме, указать его алг. кратность

или я даже не то делить собираюсь?
можете наглядно написать

этот многочлен. |на этот многочлен
...........................|_______________
...........................|

Автор: tig81 31.5.2010, 20:35

А зачем вы собираетесь столбиком делить, если применяете схему Горнера? Коэффициенты после деления записаны в таблице.
Если все же вы один корень подобрали и решили делить столбиком, то воспользуйтесь http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B5%D0%B7%D1%83. По ссылке первое следствие.

Что здесь непонятно? Предполагается, чт омногочлен может иметь комплексные корни. Что называется алгебраической формой комплексного числа? Что называется кратностью корня?

Ну вроде то, тогда не понятно, зачем ломаете голову схемой Горнера.

Что именно?

Автор: telegera 31.5.2010, 20:45

да, не столбиком а схемой горнера надо применять.
но я никак не пойму что нужно делать дальше таблички.
в лекциях пример есть, но я тоже не понимаю откуда там коэфициенты при степенях

Автор: tig81 31.5.2010, 20:49

Далее еще раз проверяете, не является ли значение -2 корнем полученного многочлена третьей степени. Для этого смотрите на вторую строку таблицы (там стоят те значения, которые вы вычисляли и заносили в таблицу). Это и есть коэффициенты многочлена, полученного после деления на (z+2) исходного многочлена р(z). Далее по выше указанной схеме делите.

ну надо посмотреть на пример. А почему вопрос не задали лектору, когда поняли, что вам это непонятно?

Автор: telegera 31.5.2010, 20:57

z^3 + z^2 - z +2
получается такой многочлен третей степени?
проверил -2 корнем не является.

Автор: tig81 31.5.2010, 20:59

Да, лучше его как-то назвать, например, р1(z).
П.С. Можно сделать проверку, для этого полученный многочлен третей степени умножьте на (z+2). Если все правильно сделано, жолжны получить исходный многочлен p(z).

Как проверили? Подстановкой, схемой Горнера? Неправильно проверили, перепроверьте.

Автор: telegera 31.5.2010, 21:05

ой, моя арифметика меня подкачала. конечно же является.
и так мы имеем
p1(z) =z^3 + z^2 - z + 2

а нам нужно записать каждый корень в алгебраической форме ( как я понял у нас корень один - (-2) ) и указать его алгебраическую кратность(многочлена само собой).

что я должен дальше сделать чтобы прийти к заветному ответу

Автор: tig81 31.5.2010, 21:10

ну да.

Вы все корни нашли?

да. Что такое алгебраическая кратность?

А что называется алгебраической кратностью многочлена?

Еще раз проверить, а не будет -2 корнем многочлена, полученного при делении p1(z) на двучлен (z+2). Какой многочлен мы получаем: степень, выражение.

Автор: telegera 31.5.2010, 21:18

что такое алгебраическая кратность не знаю , но из формулировки задания подумал что наверное это относится к многочлену.

получил p3: x^2+x+1 , -2 корнем не является

Автор: tig81 31.5.2010, 21:25

Это относится к корню многочлена.
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/167234
Итак, после пока проделанных делений мы получаем, что исходный многочлен можно записать в виде:
p(z)=(z+2)*p1(z)=(z+2)^2*p2(z), где p2(z)

Вроде р2 еще не было. И перепроверьте коэффициенты. Выделенное красным у меня не такое получилось.
П.С. Сделайте проверку, умножьте р2 на (z+2), получите р1?

верно. Но получили многочлен второй степени, решать которые мы умеем где-то с 8 класса средней школы. Тогда чему равны его корни?

Автор: telegera 31.5.2010, 21:28

мне нечего сказать в своё оправдание. поделил правильно, неправильно переписал

p2: x^2-x+1

Автор: tig81 31.5.2010, 21:30

Бывает

Верно.
Теперь находите корни трехчлена р2.

Автор: telegera 31.5.2010, 21:32

боюсь это будут комплексные числа

Автор: tig81 31.5.2010, 21:33

А чего их боятся, тем более над полем С надо раскладывать.

Автор: telegera 31.5.2010, 21:42

корень из -3, я смогу, я вычислю

Автор: tig81 31.5.2010, 21:43

Хм... а откуда такой корень? Или это значение дискриминанта?
sqrt(-3)=sqrt(3*(-1))=sqrt(3)*sqrt(-1)=sqrt(3)*i.

Автор: telegera 31.5.2010, 21:57

х1= (1-i√3)/2
x2= (1+i√3)/2

Автор: telegera 31.5.2010, 22:15

а у меня получается
f(z) = (z+1)(z-(1-i√3)/2)(z-(1+i√3)/2)

Автор: tig81 1.6.2010, 13:06

Т.е. у вас должно получится следующее: р(z) = (z+1)^2(z-(1-i√3)/2)(z-(1+i√3)/2). Можно сказать, что это вы разложили ваш многочлен на неприводимые над полем С. Над полем R: р(z) = (z+1)^2(z^2-z+1)/
Теперь вернемся к кратности. z=-2 - это корень какой степени?