найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x^2 * y
в замкнутой области x^2 + y^2 = 1.

Решение:
Найдём стационарные точки:
dz/dx = 2xy
dz/dy = x^2

Решим систему:
2ху=0
х^2=0 => х=0
у=0
М1(0;0) - стационарная точка.
Исследуем функцию на границе области:
x^2 + y^2 = 1 (1)
x^2 =1 - y^2

z= (1 - y^2) * y = у - у^3
Найдём производную:
dz/dy= 1 - 3*у^2
1 - 3*у^2 = 0
y1= 1/ 3^(1/2)
y2= -1/ 3^(1/2) корень из 3-х

а х1,х2 как найти? в уравнение (1) подставить?

Так можно найти z?
z(1/ 3^(1/2)) = 1/ 3^(1/2) - [1/ 3^(1/2)]^3 = 2/ 3*3^(1/2)
z(-1/ 3^(1/2)) = -1/ 3^(1/2) - [-1/ 3^(1/2)]^3 = -2/ 3*3^(1/2)

Почему только y=0? Все точки оси абсцисс будут стационарными.

а как тогда это правильно записать - все эти точки?

стационарные точки: при х=0, у=-1..1 (так как -1<y<1 - по усл.)

Так и записать.

z= (1 - y^2) * y = у - у^3
Найдём производную:
dz/dy= 1 - 3*у^2
1 - 3*у^2 = 0
y1= 1/ 3^(1/2)
y2= -1/ 3^(1/2)

При y2= -1/ 3^(1/2)
x^2 =1 - [-1/ 3^(1/2)]^2
x= (23/27)^(1/2) или x= -(23/27)^(1/2)

При y1= 1/ 3^(1/2)
x^2 =1 - [1/ 3^(1/2)]^2
x= (23/27)^(1/2) или x= -(23/27)^(1/2)

Получили четыре точки, а как стационарные точки учитывать при нахождении наименьшего и наибольшего значения?