Добрый вечер. Есть следующее условие:
Найти сумму ряда .
Если я правильно понял, это знакопеременный, функциональный (степенной) ряд.
Его радиус сходимости -1<x<1 (Использовал формулу, основанную на признаке Даламбера R=Lim|Cn/Cn+1| при n->oo).
Затем дважды дифференцирую по x и получаю сумму
Теперь нужно два раза проинтегрировать (от 0 до x), но этот интеграл мне решить не удалось.
Буду благодарен за советы или указание на ошибки.

Что-то не поняла, как вы просуммировали.

П.С. А интеграл берется так

Вы правы, я допустил ошибку (пересчитал, получилось по-другому). Я так рассуждал:


Спасибо. По ссылке метод для неопреденного интеграла, если брать определенный (от 0 до х) получится деление на ноль. Как же быть ?
Скажите, а направление решения правильное ?

Обозначьте x=1/t, домножьте на t, дважды продифференцируйте (если после первого раза не увидите сумму) и увидите геометрическую прогрессию. Возвращайтесь тем же путем обратно.

Кстати и увидите, что область сходимости у Вас совсем наоборот.

dr.Watson Если я Вас правильно понял:
Решение
Про область сходимости не смог додумать. А вообще правильно ли я все делаю ? Верно интегрирование от 0 до x (по алгоритму решения, и в примере)?

После первой строчки у Вас новый ряд получился - вот его сумму S(t) и вычисляйте.
Остальные строчки выбросьте - там уже чепуха пошла.