подскажите плиз как решить задание, а то завтра типовой сдавать
"Построить мажорирующий ряд и доказать его равномерную сходимость на заданном промежутке"
сумма от n=1 до бесконечности : x^n/n*2^n ; [-3/2;3/2].
Заранее благодарен
Для всех х из [-3/2;3/2] : |x^n/n*2^n|<2^n/n*2^n = 1/n*2^n < 1/2^n Поэтому мажорирующий (сходящийся - это геометр. прогрессия) ряд можно взять ряд с общим членом 1/2^n. Поэтому исходный ряд сходится равномерно.
нужно найти сумму ряда summa от n=2 до бесконечности : x^2n/(2n-3)(2n-2).
Пробывал сделать через интерал, получается интеграл от 0 до бесконечности : x^2 * summa x^(2n-3)/(2n-3). Сумма так и напрашивается взять еще один интеграл, но двойные мы не умеем решать, видимо существует какой-то другой способ. Подскажите плиз, если знаете.
Не понял. Сначала вынеси за знак ряда х^2, а ряд x^(2n-2)/(2n-3)(2n-2) два раза продифференцировать.
То есть , если я правильно понял, получается , что 1) выносим x^2 затем дифференцируем 2 раза получается x^(2n-4) сумма данного ряда 1/(1-x^2). И затем что нужно сделать? интегрировать ?
После выноса x^2 осталось вычислить сумму ряда S(x)=(summa от n=2 до бесконечности) x^(2n-2)/(2n-3)(2n-2) После двукратного дифференцирования действительно получаем S''(x)=1/(1-x^2). Теперь легко решить это простое диф. ур.(интегрировать 2 раза) и найти его общее решени. Но в нем будут две произв. постоянные С1 и С1, которые нужно определить. Для этого нужно знать значение S(x) в двух точках. Ясно, что S(0)=0. Еще надо бы вычислить S(1)=)=(summa от n=2 до бесконечности) 1/((2n-3)(2n-2)). Можно в справочнике взять, а можно разложением на простейшие и определение общего вида частичной суммы. Пробуйте.