дан функциональный ряд fn(x)= arctg(n^2*x) / x, исследовать на отрезке (1, +оо)
f(x)= lim(n->oo) fn(x)= пи/2*1/х
g(x)= |fn(x) - f(x)|= (2arctg(n^2*x)-пи) / 2x
g(1) = 0
g(+oo) = 0
g'(x)= ((1/(1+x^2)*n^2)*2x - (arctg(n^2*x) - пи)) / 2*x^2
g'(x)= 0
2x*n^2/(1+x^2) - 2arctg(n^2*x) + пи = 0, x<>0
Подскажите, пожалуйста, как из данного выражения найти Х, каким методом воспользоваться ?

никак.

Я бы сказал,что

а то модуль получается отрицательный
По-видимому,нужно оценить функцию сверху или снизу и посмотреть,что там к чему стремится.

Очевидно речь идёт не о ряде, а о последовательности. Дана функциональная последовательность f_n(x). Требуется исследовать её на равномерную сходимость в некоторой области изменения переменной x.

Вы нашли lim f_n(x) = f(x) и теперь хотите для каждого n найти максимумальное значение модуля |f_n(x)-f(x)|.
Вообще-то точное значение максимума никто находить и не заставляет - это может оказаться вычислительно сложным. Можно ведь и просто найти какую-нибудь оценку для |f_n(x)-f(x)| сверху или снизу

1) Если хотим доказать равномерную сходимость, то ищем бесконечно малую оценку сверху,
2) В противном случае ищем не бесконечно малую оценку снизу.

В данном случае даже и нахождения максимума не представляет вычислительных сложностей. Вы его только с помощью производных умеете находить?

Посмотрите на Вашу дробь. Каков максимум числителя и каков минимум знаменателя?
Если бы они достигались в разных точках, Вы бы получили лишь оценку нужного максимума сверху, а ведь здесь даже в одной и той же! Стало быть эта оценка сверху и есть максимум и никаких производных.

ЗЫ. Как изменится ответ, если промежуток изменить на 0<x<+oo ?