Очевидно речь идёт не о ряде, а о последовательности. Дана функциональная последовательность f_n(x). Требуется исследовать её на равномерную сходимость в некоторой области изменения переменной x.

Вы нашли lim f_n(x) = f(x) и теперь хотите для каждого n найти максимумальное значение модуля |f_n(x)-f(x)|.
Вообще-то точное значение максимума никто находить и не заставляет - это может оказаться вычислительно сложным. Можно ведь и просто найти какую-нибудь оценку для |f_n(x)-f(x)| сверху или снизу

1) Если хотим доказать равномерную сходимость, то ищем бесконечно малую оценку сверху,
2) В противном случае ищем не бесконечно малую оценку снизу.

В данном случае даже и нахождения максимума не представляет вычислительных сложностей. Вы его только с помощью производных умеете находить?

Посмотрите на Вашу дробь. Каков максимум числителя и каков минимум знаменателя?
Если бы они достигались в разных точках, Вы бы получили лишь оценку нужного максимума сверху, а ведь здесь даже в одной и той же! Стало быть эта оценка сверху и есть максимум и никаких производных.

ЗЫ. Как изменится ответ, если промежуток изменить на 0<x<+oo ?