Помогите пожалуйста с решением, какой следующий шаг, по какому принципу действовать?? это ужасно!!!!!!!!!!

Найти общее решение
ху'-y=корень из (x^2+y^2) разделим каждую часть на Х

y'-y/x=корень из (x+y^2/x)
z=y/x, y=zx. y'=z'x+z
по формуле dz/dx*x=f(z)-z
получается у меня dz/dx=x(1+z^2)
intxdx=intdz/(1+z^2)

intdz/1+z^2 чему равно?
arctgZ+C или 1/2ln(1+z^2)+C
и что получается потом после подставления не могу понять..у меня получилось в итоге общее решение C=x^2-2arctgy/x, но что то у меня подозрение что оно не верное)))!!

Найти общее решение
ху'-y=корень из (x^2+y^2) разделим каждую часть на Х
y'-y/x=корень из (1+y^2/x^2)
z=y/x, y=zx. y'=z'x+z
z' * x = (1 + z^2)^(1/2)
dz/(1 + z^2)^(1/2) = dx/x
int dz/(1 + z^2)^(1/2) = int dx/x
ln |z + (1 + z^2)^(1/2)| = ln |x| + C
z + (1 + z^2)^(1/2) = C * x
z = y/x
y/x + (1 + y^2/x^2)^(1/2) = C * x
Домножим на х и получаем ответ:
y + (x^2 + y^2)^(1/2) = C * x^2
Вот так вроде бы

а почему когда вы разделили на Х и я у нас получились разные варианты??

Потому, что Вы при делении на х внесли его под корень неправильно.