Такой вот ряд:

cos(n) + n
------------
n

Сумма от 1 до бесконечности.

Каким методом не пробую - ничего не выходит...

Радикальный Коши тут явно не подходит, интегральный Коши - проблемы с интегралом от cos(x) / x, сравнения и д'Аламбера - ничего в голову не приходит.

Можно проверить необходимый признак сходимости.

М...а какой будет предел от это функции, косинус же будет прыгать из-за того что стремится к бесконичности? Или это какой-то замечательный предел (не нашел) ?

Cos (n) прыгает, а вот Cos (n)/n прыгать уже не будет.