исследовать на равномерную сходимость последовательность (n*x^2)/(1+n+x^2) x от -1 до 1.
я нашла lim при n->00 (n*x^2)/(1+n+x^2) получилось x^2. потом нашла модуль (fn(x)-f(x)) получилось (x^4+x^2)/(1+n+x^2). затем, как я понимаю, надо найти sup этого модуля при х от -1 до 1. и его предел. не могу найти sup. помогите пожалуйста.
и еще. надо разложить в степенной ряд x/(4+3*x^2)^(1/4). не знаю, какое разложение использовать.

Можно по определению:
для любого e > 0 найдем N(e), такое что при любых n > N(e) и при любых x [-1 1]
|fn(x) - f(x)| < e
|fn(x) - f(x)| = (x^2 + x^4)/(1 + n + x^2)
Оценим дробь сверху.
x^2 + x^4 <= 1^2 + 1^4 = 2.
1 + n + x^2 >= 1 + n > 0 => 1/(1 + n + x^2) <= 1/(1 + n)
Тогда
|fn(x) - f(x)| = (x^2 + x^4)/(1 + n + x^2) <= 2/(1 + n)
Фиксируем e > 0, тогда найдем N, что 2/(1 + n) < e => 1 + n > 2/e => n > 2/e - 1
Тогда можно положить N(e) = [2/e], где [2/e] - целая часть.

Либо можно доказать, что |fn(x) - f(x)| стремится к 0.
0 <= |fn(x) - f(x)| <= 2/(1 + n)
Переходим к пределу и получаем, что |fn(x) - f(x)| -> 0.

Для разложения в ряд нужно использовать разложение (x + a)^(-b )

спасибо