произведение от n=1 до бесконечности
общий член имеет вид

e^(1/n) / (1+(1/n))
Думала может использовать частичное произведение. В результате получилось, что частичное произведение равно

e^(1+ 1/2 + ... +1/n) / (n+1)

Знаменатель уже более-менее хороший, но что делать с числителем.

Надо рассмотреть ряд summa (n=1 00) ln a_n
summa (n=1 00) ln a_n = summa (n=1 00) (1/n + ln n/(1+n)) =
= summa (n=1 00) (1/n + ln n - ln (n+1))
S_n = 1 + 1/2 + ... + 1/n - ln (n + 1)
S_n -> S, где n -> 00
S = постоянной Эйлера.

Огромное спасибо!

все, по-моему, гораздо проще:

{ Un=(e^(1/n)) / (1+(1/n)) * ... * ((e^(1/n)) / (1+(1/n))) | n->{"бесконечность"} } = lim ( (e^(1/n))^n / (1+(1/n))^n ) = lim ( e^1 / e^1 ) = 1

Проще говоря, бесконечное произведение данной дроби в пределе стремится к 1; т.к. в числителе n множителей e^(1/n), то получается (е^(1/n))^n = e^1.
В знаменателе же n множителей (1+(1/n))^n, что по определению в пределе равно числу e, где n стремится к бесконечности. ч.т.д.

Ну вообще-то Un не так выглядит.

мм... Сам не знаю, с каких это пор у меня Un стало принимать такую форму... Это чистой воды глюк автора. Поэтому приношу свои извинения.

Собственно, вот анализ данного примера. Думаю, на этот раз обойдется без таких ошибок.

P.S.: будем исправляться )

Ну да, постоянная Эйлера и получается. Только произведение обозначается буквой П, а не U, к тому же в знаменателе общего множителя нет степени n.