Попалась тут задачка с таким условием:
Найти систему линейных уравнений, подпространство решений которой совпадает с линейной оболочкой системы векторов a1, a2, a3
a1=(6, -4, -4, -4), a2=(4, 0, -8, 2), a3=(1, -2, 2, 0)

Судя по всему, нужно найти систему линейных однородных уравнений.
Система a1, a2, a3 линейно независима, значит, она образует базис подпространства решений (так как её линейная оболочка совпадает с самим подпространством).
А вот как дальше?
Из скольки уравнений состоит искомая система?
Я так понимаю, из одного (n-r=3, n=4, значит ранг матрицы r=1).
А коэффициенты уравнения b1x1+b2x2+b3x3+b4x4=0 нужно найти из системы, которая получится при подстановке a1, a2, a3 в это уравнение, т.е.
6b1-4b2-4b3-4b4=0
4b1+0b2-8b3+2b4=0
b1-2b2+2b2+0b4=0
И отсюда уже искать b1, b2, b3, b4.

Правильно ли я думаю? Подскажите, пожалуйста.

Все похоже на правду. Т.е. если рассматривается однородная СЛАУ, то а1, а2, а3 - это ее ФСР (фундаментальная система решений), тогда, действительно, если у нас 3 решения ФСР, то ранг матрицы системы равен 1. Таким образом, получаем, чтто после приведения матрицы системы к ступенчатому виду (для определения ранга), у нас остается одно уравнение.
Вот только что смущает, изначально то система могла и не состоять из одного уравнения.

Конечно. Можно добавить к нему хоть сколько зависимых уравнений.
Умножайте, например, получившееся уравнение на 2, 3,.... ,100 - получите систему из 100 уравнений, эквивалентную первоначальному уравнению.
А так все верно. Изначально можно одно из bi взять =1, так как однородное уравнение можно умножать на любые числа (кроме 0).

Спасибо большое, что развеяли мои сомнения

конечно, согласна.