Не могу сообразить, в каком виде надо взять формулу Коши для вычисления интеграла.
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Посмотрите здесь

Надо взять интеграл не используя теорему о вычетах.

вам надо использовать интегральную формулу Коши:

Это все понятно,но как привязать сюда косинус?

Какие из особых точек подынтегральной функции принадлежат заданной области?
Посмотрите пример. Как надо записать вашу функцию, чтобы можно было применить эту формулу?

Во всех приведенных примерах в знаменателе (z-a)**n. В моем привере стоит 1-сosz. Что с ним делать? Особая точка z=0.

Если вашу функцию переписать таким образом: ((z+2)/(1-cosz))/z, то дальше ясно, что делать?

Если сделать так, как вы советуете, то функция в числителе при z=0 будет равна бесконечности, т.е. и интеграл равен бесконечности? Это правильно?

Поступите следующим образом, функцию cosz разложите в ряд:
cosz=1-z^2/2!+z^4/4!-...
т.е. знаменатель примет вид:z*(z^2/2!-z^4/4!+...). Выносим из скобок z^2 и переписываем нашу функцию так:

((z+2)/(1/2!-z^2/4!+...))/z^3. Далее применяете обобщенную интегральную формулу Коши. Наверное так.

Спасибо, пытаюсь довести до ума. Очень трудоемко, дважды дифференцирую ряд - но хочется получить результат.

пожалуйста, пробуйте! Дифференцирование не должно вызвать проблем, т.к. ряд состоит из слагаемых - степенных функций. Но как по другому сделать пока не знаю.