К сожалению, полученный интеграл в элементарных функциях не берется. Я в отчаянии
Может быть, у кого-нибудь будут другие предложения?

edit : верно ли такое решение:
Сходимость исходного ряда будет вытекать из из сходимости ряда [Сумма по n от 1 до бесконечности] 1/ exp { n^1/2 } ("е в степени минус корень из n")
Т.к. exp { n^ 1/2 } возрастает быстрее, чем n^2, то
exp {n^ 1/2} > n^2 при n--> бесконечность
1 / exp {n ^ 1/2} < 1 / n^2
Ряд 1 / n^2 сходится (гармонический), следовательно, сходится и меньший ряд 1 / exp {n ^ 1/2}, следовательно, сходится и исходный ряд exp{-2 * n^1/2 + 4}
Ответ: ряд [Сумма по n от 1 до бесконечности] exp{-2 * n^1/2 + 4} сходится.