(1):
Исследовать на абсолютную и условную сходимость

Сумма по n от 1 до бесконечности:
((-1)^n) * (sin(n/2))^2 / (корень пятой степени из (n+1))

Ряд абсолютно расходится. Для доказательства ряд из модулей разложим на сумму двух рядов, один из которых расходится, а другой сходится(по Дирихле) => их сумма расходится. С док-вом условной сходимости все сложнее. Модуль члена не стремится монотонно к 0, так что по Лейбницу не получится. Может кто подскажет?

(2):
Исследовать на абсолютную и условную сходимость

Сумма по n от 1 до бесконечности:
sin(n)/(корень третьей степени из (n^2)) - sin(sin(n)/(корень третьей степени из (n^2)))

Тут я вообще в тупике. Если разбить на сумму двух рядов(ну я думаю ясно каких, одно слагаемое из члена в один ряд, другое в другой), то "левый" ряд будет сходится. А "правый"?
Вообщем, тоже, буду благодарен за помощь.

Так, первый ряд расх., доказал.
Буду благодарен за помощь со вторым.

Докажем, что ряд сходится абсолютно.

Пусть
An=sin(n)/(корень третьей степени из (n^2)) - sin(sin(n)/(корень третьей степени из (n^2)))

Докажем, что сходится ряд с общим членом |An|.

Прежде всего легко установить (Лопиталь, разл. в ряд синуса), что
(*) lim(x->0) (x-sinx)/x^3=1/6

Отсюда

(**) lim(x->0) |x-sinx|/|x|^3=1/6

Сравним (в предельной форме) исследуемый положительный ряд с общич членом |An| и сходящийся (легко доказать) положительный ряд с общим членом Bn=|sin(n)|^3/n^2.

Для этого вычисляем предел
lim (n->00) |An|/Bn
Если подставить в этот предел выражения для An и Bn и сделать в пределе замену
x=sin(n)/(корень третьей степени из (n^2)) ,
то получим (**).
Поэтому ряд из |An| сходится, ч.т.д.

P.S. Сразу не заметил, что Вы из УрГУ. Кто у Вас преподает математику (лекции и практику)?

Спасибо огромное

Матан у нас читает Рогожин. Практика - Глазырина.

Кстати, ведь для доказательства (*) достаточно разложить -sin(x) в ряд Тейлора, там все без Лопиталя видно.