Докажем, что ряд сходится абсолютно.

Пусть
An=sin(n)/(корень третьей степени из (n^2)) - sin(sin(n)/(корень третьей степени из (n^2)))

Докажем, что сходится ряд с общим членом |An|.

Прежде всего легко установить (Лопиталь, разл. в ряд синуса), что
(*) lim(x->0) (x-sinx)/x^3=1/6

Отсюда

(**) lim(x->0) |x-sinx|/|x|^3=1/6

Сравним (в предельной форме) исследуемый положительный ряд с общич членом |An| и сходящийся (легко доказать) положительный ряд с общим членом Bn=|sin(n)|^3/n^2.

Для этого вычисляем предел
lim (n->00) |An|/Bn
Если подставить в этот предел выражения для An и Bn и сделать в пределе замену
x=sin(n)/(корень третьей степени из (n^2)) ,
то получим (**).
Поэтому ряд из |An| сходится, ч.т.д.

P.S. Сразу не заметил, что Вы из УрГУ. Кто у Вас преподает математику (лекции и практику)?