arcsin(0,97*0,01)

z=arcsin(x*y)
x0+dx=0,97 x0=0,9 dx=0,07
y0+dy=0,01 y0=0,9 dy=-0,89

f(x0+dx y0+dy) = f(x0y0)+dt(x0y0)

Z(0,9;0,9) = arcsin(0,9*0,9) =

А не лучше взять х0=1, dx=-0,03; у0=0, dx=0,01?!

На мой взгляд, ещё проще будет перемножить 0,97*0,01 = 0,0097 и потом исследовать функцию уже 1й переменной - y = arcsin(x) в окрестности нуля.

Так конечно проще, но все зависит от изучаемой темы.
Автору есть теперь полет для фантазии.

это точно сейчас попробую так и так решить.. что получится посмотрю

Одно и тоже должно получиться

Посмотрите, правильно?
После того, когда за взяли x0=1 y0=0, получилось
z(1;0)=arcsin(1*0)=0
dz/dx=(arcsin(x*y))' = (x*y)'/sqrt(1-(x*y)^2) = (y+x)/sqrt(1-x^2*y^2)

d/dx = такое же значение получилось как dz/dx

dz= (y+x)/sqrt(1-x^2*y^2) *dx + (y+x)/sqrt(1-x^2*y^2) * dy

dz(1;0)= -0,03+0,01 = -0,02

arcsin(0,97*0,01)=0-0,02=-0,02

Почему (xy)' = y+x?

Вот полностью: dz/dx = (arcsin(x*y))' = (x*y)'/sqrt(1-(x*y)^2) = (x'*y+x*y')/sqrt(1-x^2*y*2) = =(y+x)/sqrt(1-x^2*y*2)

Когда дифференцируете по х, у - константа, поэтому производная от у по х равна 0. Аналогично с дифференцированием по у.