Пожалуйста, подскажите как можно решить задачу:

Покажите, что
P( sup 0<s≤t |Xs − Xs−| > a) = 1 − exp(−tΠ(R\(−a,a))) для a > 0.
где П - мера леви

Спасибо всем, кто не пройдет мимо!!!!!

Вообще-то такого уровня задачка подразумевает, что Вы как минимум собираетесь стать специалистом по теории вероятностей или в какой-либо иной тесно связанной с ней области математики. В кулинарном техникуме не проходят процессов Леви (кстати, Леви - это фамилия такая, с большой буквы пишется). Невредно бы будущему специалисту по ТВ понимать, что:
а) мы не можем знать, что прочитано в вашем курсе, т.е. из чего следует исходить,
б) задачи следует решать самостоятельно: это будущему кулинару не зазорно просить помощи по ТВ, а Вам - категорически противопоказано.

Ну а по делу см. мой ответ на моём форуме: берём а=1 и вуаля. Кстати, ещё можно спросить то же самое не на гугл, не у меня, не здесь, а на dxdy и насладиться ещё одним моим ответом

Спасибо, что не поленились все это написать .

То что имя математика у меня написано с маленькой буквы, конечно, выглядит воплощинием вопиющей наглости. На деле же - простая лень нажать кнопочку Shift.

Видмо, мне должно быть крайне стыдно, что для меня "берем а=1" - это совсем не вуаля.
Что ж будем еще терзать эту задачу.

Где хоть и по какой специальности учитесь? Такое ощущение, что курс - по книге Андреаса Киприану, а кто это в ЛА такое читает?

А переход от а к 1 напрашивается: иначе П(R \ (-a,a)) ниоткуда не получится. Этот переход делается простым делением на а слагаемых сложного пуассоновского процесса Y_1+...+Y_{N(t)}.

Нет, мы по книге Financial Modeling with jump processes, Rama Cont and Peter Tankov. Но сдается мне препод. за задачами именно к Kyprianou обращается. Я занимаюсь случайными процессами, но совершенно в другой области. А тут свалился этот предмет, на который времени нет совсем. Вот и страдаюююю.

Кажется, я разобралась с задачкой .
Если не трудно, то взгляните на идею решения:

Я рассматриваю вероятность противоположного события
(то есть P( sup 0 < s <= t |Xs − Xs−| <= a) )
пробую высчитывать условную верояность с уловием на число скачков N(t)=n. Тогда условная вероятность от sup превращяется в произведение верояностей того, что каждый из n скачков меньше или равен a.
Поскольку все это суммируется n=0 . . +оо, то я в итоге получаю степенной ряд экспоненты:

1 - exp(-lambda * t) exp(F(a) * lambda * t) = 1 - exp (-lambda * t [1-F(a)] ) =
1- exp (- t * Π(R\(−a,a))

F - функция распределения скачков в процессе.

Надеюсь, что это близко к истине. В 5 утра реально сложно думать.

Даа... я тут полный бред доказала...

Я, конечно, вообще ничего не понимаю в процессах Леви, но гложет меня смутное сомнение, что третья компонента, потерявшаяся напрочь, тоже скачкообразная. И что она никак не повлияет на распределение супремума, должно где-то вылезти из формул.

Большое спасибо за подсказки!