y'=(x^2+xy-y^2)/(x^2-2xy) Опции

[Smolexey]

Найти общее решение y'=(x^2+xy-y^2)/(x^2-2xy). Что-то мне подсказывает, что надо сначала упростить, но ничего не выходит. Люди добрые, дайте совет студенту.

[Ярослав_]

Это однородное уравнение, нужно сделать замену y=zx ; y'=z'x+z

http://www.reshebnik.ru/solutions/5/2/

[Smolexey]

У меня получилось z'x+z=(1+z-z^2)/(1-2z) Что потом?

[граф Монте-Кристо]

Потом разделяете переменные и интегрируете.

[Smolexey]

Есть здесь трезвые мысли?

[граф Монте-Кристо]

Есть.Осталось теперь взять неопределённый интеграл слева.

[Smolexey]

Получилось вот так:



Верно?
А как с этими "c" разобраться?

[граф Монте-Кристо]

Ответ похож на правильный,только способ немного нерациональный. Гораздо проще было бы разбить в разность двух интегралов,один из которых даст арктангенс сразу же,а второй - после замены - логарифм.
У Вас дифур первого порядка,значит,константа должна быть только одна. Обычно при интегрировании дифура с одной стороны пишут константу(например, С_1), а с другой на неё попросту забивают. Ведь разность двух любых произвольных констант сама будет произвольной константой (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[Dimka]

неправильно интеграл взяли.
Необходимо представить (1-2z)/(1+z^2)= [1/(1+z^2)] - 2z/(1+z^2)

Интеграл от первого слагаемого arctg z, интеграл от второго слагаемого легко вычисляется после внесения z^2 под знак дифференциала и равен -ln(1+z^2)+C

[Smolexey]

Получилось вот что

Как выразить y чтобы получить окончательный ответ?

[Dimka]

так и оставить.