Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Дифференциальные уравнения _ y'=(x^2+xy-y^2)/(x^2-2xy)
Автор: Smolexey 3.9.2009, 13:59
Найти общее решение y'=(x^2+xy-y^2)/(x^2-2xy). Что-то мне подсказывает, что надо сначала упростить, но ничего не выходит. Люди добрые, дайте совет студенту.
Автор: Ярослав_ 3.9.2009, 14:53
Это однородное уравнение, нужно сделать замену y=zx ; y'=z'x+z
http://www.reshebnik.ru/solutions/5/2/
Автор: Smolexey 8.9.2009, 11:00
У меня получилось z'x+z=(1+z-z^2)/(1-2z) Что потом?
Автор: граф Монте-Кристо 8.9.2009, 11:23
Потом разделяете переменные и интегрируете.
Автор: Smolexey 8.9.2009, 12:01
Есть здесь трезвые мысли?
Автор: граф Монте-Кристо 8.9.2009, 12:47
Есть.Осталось теперь взять неопределённый интеграл слева.
Автор: Smolexey 8.9.2009, 13:40
Получилось вот так: 
Верно?
А как с этими "c" разобраться?
Автор: граф Монте-Кристо 8.9.2009, 15:17
Ответ похож на правильный,только способ немного нерациональный. Гораздо проще было бы разбить в разность двух интегралов,один из которых даст арктангенс сразу же,а второй - после замены - логарифм.
У Вас дифур первого порядка,значит,константа должна быть только одна. Обычно при интегрировании дифура с одной стороны пишут константу(например, С_1), а с другой на неё попросту забивают. Ведь разность двух любых произвольных констант сама будет произвольной константой 
Автор: Dimka 8.9.2009, 15:21
неправильно интеграл взяли.
Необходимо представить (1-2z)/(1+z^2)= [1/(1+z^2)] - 2z/(1+z^2)
Интеграл от первого слагаемого arctg z, интеграл от второго слагаемого легко вычисляется после внесения z^2 под знак дифференциала и равен -ln(1+z^2)+C
Автор: Smolexey 8.9.2009, 15:59
Получилось вот что 
Как выразить y чтобы получить окончательный ответ?
Автор: Dimka 8.9.2009, 16:12
так и оставить.
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)