Пересечение замкнутых множеств-замкнуто??? Опции

[Stensen]

Уважаемые,проясните,плз. Есть множество Е. Известно, что объединение всех открытых в Е множеств- это открытое множ-во (внутренность Е). Эта панятна. А вот почему замыканием Е является ПЕРЕСЕЧЕНИЕ всех замкнутых в Е множеств. Эта не панятна.
Например: отрезок [0,1]. Замыкают открытое множество (0,1) граничные точки: {0,1}. Т.е. замыкание интервала (0,1) - это объединение (0,1) + {0},{1} = [0,1]. Эти точки: {0},{1} можно рассматривать как замкнутые множества в Е. Но ведь эти точки не пересекаются. Как понимать, что пересечение всех замкнутых множеств даст отрезок [0,1]. (читал Ильин,Позняк "Основы Матана" ч.2, Гл.8)
Всем зарании спасиб. Да здраствует мат-ка!