Исслеовать на сходимость Опции

[Udav3513]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста. Укажите, хотя бы примерно какими признаками воспользоваться в данных примерах. Буду очень благодарна.
И еще нужно разложить в ряд тейлора функцию 3/(2-x-x^2) Я пыталась сделать по формуле Тейлора, но что то слишком огромные производные получаются, может нужно как то преобразовать функцию?В задании написано что разложить по степеням x, получается что x=1 или x=0. и если x=0, то тогда это уже ряд Макларена будет? Спасибо огромное заранее

[Тролль]

Нужно разложить дробь 3/(2 - x - x^2) на простейшие дроби.
1. Использовать предельный признак сравнения
2. Признак Даламбера наверное
3. Можно попробовать Коши применить
4. Можно попробовать интегральный признак Коши
5. Признак Лейбница

[venja]

3. При этом учесть, что предел корня n-ой степени из n равен 1.
4. С помощью указанного признака доказать расходимость ряда
1/[n*ln(n)],
потом сравнить в предельной форме заданный ряд с этим.
5. Сходится абсолютно. Признак Даламбера.

[Тролль]

Согласен с 5 номером) Не подумал про абсолютную сходимость)

[Udav3513]

Спасибо большое. У меня получилось, что 2, 5 сходятся, 4 расходится.
В 1 не подскажите с каким рядом сравнить, пожалуйста (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)
А 3 нужно взять интеграл функции x^4*(arctg(pi/4x)^2x) и посмотреть сходится он или нет? или можно взять функцию попроще, а потом сравнить?
И еще нужно функцию разложить в ряд Тейлора, но не указано до какой степени и x нулевое тоже, и что мне тогда делать не могу же я производные до бесконечности находить. Функцию я писала в первом посте.

[Dimka]

А 3 нужно взять интеграл функции x^4*(arctg(pi/4x)^2x) и посмотреть сходится он или нет? .....

(IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Вам вроде вверху написали воспользоваться радикальным признаком Коши.

не могу же я производные до бесконечности находить.

но можете увидеть закономерность, т.е. общую формулу, по которой можно найти n-ю производную.

[Udav3513]

Спасибо, что то вроде закономерности уловила))а x нулевое если не дано, то тогда оставить ряд в общем виде?

Вам вроде вверху написали воспользоваться радикальным признаком Коши.

Я видела) Просто интеграл сильно страшный)..я немного не математик

[Inspektor]

первый сравните с таким же, только без арксинуса.
А вот с четвёртым мне не всё ясно, я посчитал- расходится, вбил в математику- у неё сходится... Поэтому пусть ещё кто-нибудь посчитает =)

[Udav3513]

первый сравнила с таким но без арксинуса, получилось, что ряд, с которым сравнивала сходится, но его значения меньше чем значения ряда, который дан.

[Inspektor]

первый сравнила с таким но без арксинуса, получилось, что ряд, с которым сравнивала сходится, но его значения меньше чем значения ряда, который дан.

1. Использовать предельный признак сравнения

[Udav3513]

Спасибо большое. Теперь все получилось, кроме вот этого(( Я его просто боюсь..не знаю как взяться
Здесь радикальный признак коши не подойдет, предел получается гораздо больше единицы

[Inspektor]

откуда там больше единицы? Пересчитывайте, должен ноль получиться.

[Udav3513]

Ага, все вышло....Фу...тяжела математика, но решаема)) Спасибо

[dr.Watson]

И еще нужно функцию ___ разложить в ряд Тейлора, но не указано до какой степени и x нулевое тоже, и что мне тогда делать не могу же я производные до бесконечности находить.

Для функции 3/(2-x-x^2) и не надо никаких производных находить. Достаточно воспользоваться стандартными разложениями. Здесь из пяти основных разложений понадобится только разложение биномома (1+x)^n, да и то в частном исполнении n=-1, то есть известная со школы геометрическая прогрессия 1/(1-q)=1+q+q^2+ ...

Раскладываем дробь в сумму простейших:

3/(2-x-x^2)=1/(1-x)+1/(x+2)

Первая дробь сразу г.прогрессия, а вторая тоже сразу:

1/(2+x)=0,5/(1-(-0,5x))

Остаётся сложить две прогрессии, привести подобные и указать интервал сходимости (-1;1)