y''+y'=e^x/(2+e^x) Опции

[Маньфа]

Доброго времени суток!

y''+y'=e^x/(2+e^x)

Нашла решение одродного уравнения y0=C_1+C_2e^x
А вот дальше методом Лагранжа не получается (IMG:style_emoticons/default/no.gif)

Может быть каким-то другим методом нужно решать?

Спасибо.

[V.V.]

Доброго времени суток!

y''+y'=e^x/(2+e^x)

Нашла решение одродного уравнения y0=C_1+C_2e^x
А вот дальше методом Лагранжа не получается (IMG:style_emoticons/default/no.gif)

Может быть каким-то другим методом нужно решать?

Спасибо.

Общее решение однородного Вы нашли неправильно.

А дальше обычно постоянные варьируют. Хотя лично мне ближе формула Коши.

[Маньфа]

Да, опечаталась, решение однородного получислось y0=C_1+C_2e^(-x)
Варьировать все равно не получается..

[Тролль]

Доброго времени суток!

y''+y'=e^x/(2+e^x)

Нашла решение одродного уравнения y0=C_1+C_2e^x
А вот дальше методом Лагранжа не получается (IMG:style_emoticons/default/no.gif)

Может быть каким-то другим методом нужно решать?

Спасибо.

y = C1(x) + C2(x) * e^(-x)
Тогда C1(x) и C2(x) находятся из системы:
C1'(x) * 1 + C2'(x) * e^(-x) = 0,
C1'(x) * 1' + C2'(x) * (e^(-x))' = e^x/(2 + e^x)

[Маньфа]

Спасибо.
Всё ясно - неверно составляла систему (IMG:style_emoticons/default/sad.gif) вот дожили даже систему правильно составить не в состоянии!

[V.V.]

y''+y'=e^x/(2+e^x)

решение однородного уравнения y=C_1+C_2e^(-x)

Найдем теперь решени K(x,s) из условий
y(s)=0,
y'(s)=1.

Получим
C_1+C_2e^(-s)=0,
-C_2e^(-s)=1.

Отсюда C_2=-e^s, C_1=1.
Таким образом, K(x,s)=1-e^(s-x).

Частное решение неоднородного находится как

y(x)=int_(x_0)^x K(x,s)f(s)ds,

где f(s) - правая часть уравнения.

Это замечательная формула и называется формулой Коши.

[Маньфа]

Большое человеческое спасибо за вклад в образование московских студентов!