2yy"=y^2+(y')^2, Помогите, пожалуйста, решить Опции

[Asya89]

Надо найти общее решение ДУ
2yy"=y^2+(y')^2
Подскажите с чего начать

[tig81]

понизить порядок ДУ

[Asya89]

заменой?

[tig81]

да

[Asya89]

Если принять y'=p y"=p dp/dy, то получим
2p dp/dy=y^2+p^2
дальше не получается разделить переменные

[Руководитель проекта]

В левой части y потеряли. Сводите к однородному уравнению.

[Asya89]

Не понимаю где у потеряла? вроде правильно

Нашла потерю. получается
2yp dp/dy=y^2+p^2

[Asya89]

Я кажется решила. в итоге получила
p^2-y^2=p^3C
можно оставить общее решение в таком виде?

[Руководитель проекта]

Нет. Ведь p=y'.

[Asya89]

То есть получается что всё не правильно?

[A_nn]

может и правильно, но не доделано.

[Asya89]

свела к однородному уравнению
2ypdp-(p^2+y^2)dy=0
разделила на p^2
y'=(1+(y/p)^2)/2y/p
заменим z=y/p y'=pdz/dp+z
в итоге получим
pdz/dp=(1-z^2)/2z
2z/(1-z^2) dz=1/p dp
интегрируем обе части, получаем
ln|1-z^2/p|=-C1
|1-z^2/p|=e^-c1
обозначим С=e^-c1
|1-z^2/p|=C
заменяя z=y/p
в итоге получаем
p^2-y^2=p^3*C
Дальше не знаю что и правильно ли до этого момента