y'*(20+(y')^2)=y'' Опции

[Елена 555]

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка.

y'*(20+(y')^2)=y''
y''-y'*(20+(y')^2)=0
Пусть y'=p ,тогда y''=p'*p=p*(dp/dy)

p*(dp/dy)-p*(20+p^2)=0
dp/dy=20+p^2
dp/(20+p^2)=dy

int.dp/(20+p^2)=int.dy
1/sqrt(20)*arctg(p/sqrt(20))=y+C

Мне стыдно конечно спрашивать,но подскажите,пожалуйста,как выразить с этого равенства p.,а то я что-то уже забыла (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)

[граф Монте-Кристо]

p=sqrt(20)*tg((y+C)*sqrt(20))

[Елена 555]

Спасибо большое граф Монте-Кристо!!!!!!!

[Елена 555]

так как y'=p ,тогда y'=sqrt(20)*tg((y+C)*sqrt(20))
y''=p'*p,найдем производную от p
p'=20/(cos^2(sqrt(20)*(y+C)))
y''=(20/ (cos^2(sqrt(20)*(y+C))))*(sqrt(20)*tg((y+C)*sqrt(20)))=(20*sqrt(20)*sin((y+C)*sq
rt(20)))/(cos^3(sqrt(20)*(y+C)))
Правильно я решаю или нет?

[Dimka]

y'=p
dy/dx=p
dy/p=dx

int dy /{ sqrt(20)*tg((y+C)*sqrt(20)) }=x+C2

посчитайте интеграл и получите решение

[Елена 555]

int dy /{ sqrt(20)*tg((y+C)*sqrt(20)) }=1/sqrt(20)*int dy /{tg((y+C)*sqrt(20)) }=
=1/sqrt(20)*int cos((y+C)*sqrt(20))dy /sin((y+C)*sqrt(20))=

t=sin((y+C)*sqrt(20))
dt=sqrt(20)*cos((y+C)*sqrt(20))

=1/20*int.dt/t=1/20*ln[t]=1/20*ln[sin((y+C)*sqrt(20))]+C
верно я нашла интеграл или нет?

[Dimka]

да. Только в конце С1 или С2, а не С.

[Елена 555]

Т.е.это уравнение-это и есть общее решение дифференциального уравнения второго порядка.

y=1/20*ln[sin((y+C)*sqrt(20))]+C1

[Dimka]

int dy /{ sqrt(20)*tg((y+C)*sqrt(20)) }=x+C2
или
int dy /{ sqrt(20)*tg((y+C)*sqrt(20)) } -С2=x

1/20*ln[sin((y+C)*sqrt(20))]-C2=x - это решение

[Елена 555]

Спасибо Вам большое,Dimka!!!!!!!!!